Sujet bac S - Annale sciences de l'ingénieur 2019

• Le sujet comporte 27 questions.

Présentation du système

Les maraîchers, producteurs de légumes, ont besoin de désherber leurs champs pour garantir la qualité des récoltes. Une solution consiste à utiliser des herbicides, une autre à désherber mécaniquement.
L’opération de désherbage mécanique, appelée binage, ameublit la couche superficielle du sol autour des plantes cultivées à l’aide d’un soc, lame métallique passée à quelques centimètres sous la surface du sol.

L’utilisation des herbicides a un certain nombre d’inconvénients bien connus :

• impact écologique négatif ;
• exposition des agriculteurs à des produits nocifs ou potentiellement nocifs ;
• rejet de $\text{CO}_2$ par les tracteurs pour les plantations sous serre ;
• compactage des sols par le passage des tracteurs.

Le désherbage mécanique, lorsqu’il est réalisé manuellement, a aussi ses inconvénients :

• risque important d’apparition de troubles musculo-squelettiques (TMS) qui touchent les membres et le tronc, et se manifestent par des douleurs et des lourdeurs articulaires ;
• temps des travaux et coûts importants.

Les plantations de légumes cultivés en serre sont organisées en planches (figure 2) regroupant $4$ rangées de légumes. Les planches sont séparées par un espace non cultivé, appelé passe-pieds. Cet espace permet la circulation du maraîcher et le passage des roues des engins agricoles prévus spécifiquement pour cet environnement de travail.

La société Naïo propose, pour effectuer le désherbage mécanique de légumes en planche, un robot autonome appelé robot DINO, objet de l’étude.

Structure du robot DINO

Le robot DINO est constitué d’un châssis (figure 3) motorisé par $4$ roues motrices. La largeur du châssis permet aux roues de passer dans les passe-pieds, de chaque côté de la planche travaillée. Les roues sont aussi directrices et permettent au robot de tourner sur place.

Le binage est réalisé par $5$ socs placés en parallèle, chacun monté sur un outil (figure 4). Chaque outil comprend un soc, une roue outil et une structure en parallélogramme déformable avec ressort permettant d’assurer le contact de la roue outil avec le sol lors du binage.

Les $5$ outils sont fixés sur le porte-outils. L’ensemble de relevage permet de dégager les outils lors des déplacements du robot hors travail ou lors des demi-tours en fin de planche, puis de les descendre en position de travail en début de chaque planche.

L’ensemble de relevage peut se déplacer latéralement en temps réel afin de suivre les variations d’alignement des plants. Les informations nécessaires à la commande sont obtenues par traitement des images provenant des caméras placées à l’avant et sous le châssis.

Principe de fonctionnement

Le robot fonctionne de façon autonome sur une parcelle. À l’aide d’une télécommande sans fil, le maraîcher amène le robot sur la parcelle à travailler et le positionne au début d’une planche. Il descend ensuite le porte-outils en position de binage et enregistre cette position dans la mémoire de l’unité de commande.
Lors de cette phase, le ressort de la structure déformable est comprimé. L’effort généré par le ressort permet d’amorcer le binage dès que le robot avance : les socs s’enfoncent dans la terre jusqu’à ce que les roues outils viennent en contact avec le sol. Ensuite, l’angle d’incidence des socs suffit à maintenir ces contacts.

Utilisant les données d’un capteur GPS RTK et de caméras, le robot réalise le binage, d’une planche à l’autre, de façon entièrement autonome. Le maraîcher est prévenu par SMS lorsque le désherbage de la parcelle est terminé.

Cette solution est concurrentielle si l’opération de binage est réalisée avec une qualité suffisante qui dépend essentiellement du bon positionnement des socs par rapport au sol et aux plants. La structure du robot précédemment défini conduit aux contraintes technologiques suivantes :

• bon parallélisme du porte-outils par rapport au plan des roues ;
• effort d’amorçage suffisant afin d’assurer la pénétration des socs dans le sol en début de planche ;
• positionnement latéral des outils de binage suffisamment précis et rapide.

Dans un premier temps, une étude sera faite sur la pertinence de l’utilisation du robot. Dans un second temps, les solutions mises en œuvre pour satisfaire les trois contraintes ci-dessus seront étudiées.

Analyse du besoin

Objectif de cette partie :

• Justifier la pertinence de l’utilisation du robot DINO par un maraîcher.

Le maraîcher a deux impératifs : la qualité et le coût.

Qualité

Un maraîcher a accepté de comparer ses pratiques de désherbage avec un désherbage effectué uniquement par le robot. Pour cela, il a partagé ses parcelles en deux parties. L’une est désherbée par l’agriculteur et son matériel classique, l’autre uniquement par le robot.

Une note de satisfaction de l’enherbement, allant de $0$ à $10$, est attribuée aux parcelles. Une note de $10$ correspond à une parcelle très propre, sans mauvaise herbe. Une note de $0$ correspond à une parcelle très sale, non entretenue. Une parcelle notée à plus de $7$ est considérée comme propre et notée à moins de $3$ est considérée comme sale.

• Expliquer, à l’aide de la figure 5, pourquoi le robot DINO est particulièrement adapté au désherbage des légumes en planche.

Prix

La durée et les coûts du désherbage sont résumés dans le tableau ci-dessous, pour les deux modes de désherbage (par le robot DINO et par l’agriculteur).

• Pour les deux modes de désherbage, calculer le temps et le coût total pour une surface de $1\,000\ \text{m}^2$.

En France, la surface moyenne d’une exploitation maraîchère est de $65\,000\ \text{m}^2$ ($6,5\ \text{hectares}$).

• Calculer la différence de coût entre les deux modes de désherbage pour une surface moyenne.

Le prix d’achat du robot est estimé à $70\,000\ \text{euros}$. Il faut, en moyenne, $3$ opérations de binage par an et par exploitation.

• Pour une exploitation moyenne, calculer le nombre de désherbages et le nombre d’années nécessaires pour amortir le prix d’achat du robot.
• Expliquer pourquoi il est judicieux pour le maraîcher d’acquérir ce robot.

Gestion du positionnement des socs de binage

Objectif de cette partie :

• Assurer un parallélisme de qualité du porte-outils avec le plan des roues motrices pour différentes hauteurs du passe-pied.

Lors du binage d’une planche de légumes, les roues motrices du robot roulent dans des espaces non cultivés, appelés passe-pieds (figure 6). Les plants sont situés entre ces passe-pieds, dans un plan horizontal situé au niveau ou au-dessus de celui des passe- pieds.

Le positionnement du porte-outils se fait à l’aide de $3$ vérins : un vérin dit de relevage et deux vérins synchronisés, dits d’horizontalité (voir figure 7).
À l’aide de la télécommande, l’agriculteur actionne le vérin de relevage. Simultanément, l’unité de commande pilote les vérins d’horizontalité afin de maintenir le porte-outils parallèle au plan horizontal des roues motrices, confondu avec celui des passe-pieds.
En début de planche, le porte-outils est descendu jusqu’à ce que les roues outils touchent le sol.

Le schéma de la figure 8 définit la distance $h$ de positionnement vertical des roues outils et du porte-outils et l’angle $\alpha$ associé au défaut de parallélisme du porte-outils par rapport au plan du passe-pieds.

Avec ces notations et en tenant compte des variations de la distance entre le plan des roues motrices et le plan des roues outils (distance $d$ figure 6) et du dégagement nécessaire hors travail, les exigences sur le positionnement du porte-outils sont définies dans le tableau 2.

L’utilisation d’un logiciel de simulation permet d’obtenir les courbes de la figure 9. Elles présentent l’évolution théorique des longueurs des vérins (définis figure 8) en fonction de la position $h$ du porte-outils par rapport au plan des roues motrices pour $\alpha=0\degree$.

Validation des exigences sur la distance $h$

• Relever, à partir des courbes de la figure 9, les longueurs minimales et maximales des vérins permettant d’assurer les exigences de positionnement sur $h$ définies dans le tableau 2.

Pour des raisons économiques, ces vérins sont choisis identiques.

• En déduire la longueur minimale et la course nécessaire des vérins.

Détermination de la précision minimale sur la longueur des vérins d’horizontalité

Les vérins de relevage et d’horizontalité interviennent dans le positionnement vertical du porte-outils ainsi que dans son positionnement angulaire. Nous allons déterminer la précision sur leur longueur nécessaire pour assurer les exigences de positionnement du porte-outils.

Le couplage des incertitudes et les choix opérés par le constructeur permettent de restreindre l’étude aux vérins d’horizontalité : ils doivent assurer une précision souhaitée de $\pm\,5\ \text{mm}$ afin de respecter le critère de précision de positionnement sur $h$. L’étude est réalisée pour $h=10\ \text{cm}$. La figure 10 présente un agrandissement autour de cette position.

• Déterminer, à partir de la figure 10, la valeur de la précision nécessaire sur le déplacement des vérins d’horizontalité pour atteindre l’exigence de $\pm\,5\ \text{mm}$ sur le positionnement.

Afin d’assurer la qualité du binage, le défaut de parallélisme $\alpha$ du porte-outils par rapport au plan des roues motrices doit rester inférieur à $5\degree$. Une étude géométrique permet de relier la précision sur le déplacement du vérin d’horizontalité, notée $\Delta x$, au défaut de parallélisme $\alpha$ (voir figure 11).

• Calculer la variation de longueurs des vérins d’horizontalité induisant une variation angulaire de $5\degree$ sur l’orientation du porte-outils.
• En déduire la valeur de la précision nécessaire sur les vérins pour assurer à la fois le positionnement et l’orientation du porte-outils.

Validation de la résolution de la consigne

Afin de mettre en œuvre le robot DINO dans le champ pour lequel la distance entre les planches de légumes et le passe-pieds est de $10\ \text{cm}$, le calculateur envoie des consignes de position au vérin de relevage, puis au vérin d’horizontalité, via un bus CAN.

Le tableau 3 détaille la structure des données transmises sur le bus.

Le vérin d’horizontalité est piloté par un bloc de puissance de type $8$ à l’intérieur duquel se trouve une carte dont l’adresse est $5$.

Les vérins choisis par le constructeur ont une longueur comprise entre $310\ \text{mm}$ et $510\ \text{mm}$.

La carte pilote la position de la tige du vérin par rapport au corps du vérin. Pour une consigne de $0\ \%$, la tige est rentrée et la longueur du vérin est donc de $310\ \text{mm}$. Pour une consigne de $100\ \%$, la tige est sortie de $200\ \text{mm}$, course maximale du vérin.

Pour piloter la longueur du vérin d’horizontalité l’identifiant du message correspond à une consigne de position. Cette consigne de position en pourcentage est envoyée sur un octet. La valeur $255$ (en décimal) correspond à $100\ \%$.

• Déterminer la valeur hexadécimale des $11\ \text{bits}$ d’identification du vérin d’horizontalité.
• Déterminer la valeur (en décimal, arrondie à l’entier naturel inférieur) de la consigne de position à envoyer sur $\text{DATA}\ 0$ afin que la longueur du vérin d’horizontalité soit de $340\ \text{mm}$.
• Déterminer la précision, en millimètres, de la commande du vérin d’horizontalité.
• Vérifier la compatibilité de la précision, en millimètres, de la commande du vérin d’horizontalité avec la précision déterminée précédemment.

Dispositif de maintien du contact entre la roue du soc et le sol

Objectif de cette partie :

• Valider que l’action de la roue sur le sol permet d’amorcer le binage.

Afin d’assurer un binage de qualité, le soc doit être maintenu à $2\ \text{cm}$ sous terre. Cette position est obtenue lorsque la roue du soc est en contact avec le sol (figure 12).

À cette fin, l’ensemble constitué de la roue et du soc est relié au porte-outils par une structure en parallélogramme déformable qui permet à la roue de rester en contact avec le sol pour des variations de niveau de $\pm\,3\ \text{cm}$.

En fonctionnement, lorsque le soc est sous terre, son angle d’incidence assure le maintien du contact de la roue avec le sol. En début d’opération et après un demi-tour effectué pour passer d’une rangée de plants à une autre, le porte-outils est descendu en position de travail et le soc repose sur le sol, mais pas la roue. Un effort minimal, obtenu par un ressort, est nécessaire pour assurer l’amorçage du binage (tableau 4).

La figure 13 représente l’ensemble isolé $E$ ainsi qu’un modèle des actions mécaniques s’exerçant sur cet ensemble afin de déterminer l’action du soc sur le sol. Les hypothèses sont :

• modèle plan $(O\ ;\,\vec x,\,\vec y)$ ;
• configuration correspondant à la position de référence ($0\ \text{mm}$) de l’ensemble outil par rapport au porte-outils ;
• robot à l’arrêt.

Les actions mécaniques qui s’appliquent sur l’ensemble isolé $E$ sont :

• l’action de la pesanteur au point $G$ avec $m=6,25\ \text{kg}$ et $g=9,81\ \text{m}\cdot s^{-2}$ ;
• l’action du sol sur le soc au point $A$ notée $\vec F_A(\text{sol}\to E)$ ;
• l’action du ressort de l’amortisseur au point $B$ notée $\vec F_B(\text{ressort}\to E)$ ;
• l’action de la biellette inférieure au point $B$ notée $\vec F_B(\text{inférieure}\to E)$ ;
• l’action de la biellette supérieure au point $C$ notée $\vec F_C(\text{supérieure}\to E)$.
• Exprimer l’équation scalaire issue du théorème du moment dynamique appliqué en $B$ à l’ensemble isolé $E$ dans son mouvement par rapport au sol.

Pour la position de référence de la figure 13, la résolution des équations scalaires issues du principe fondamental de la dynamique permet de déterminer la norme de l’action de la biellette supérieure au point $C$ :

$$\Vert \vec F_C(\text{supérieure}\to E) \Vert = 55\ \text{N}$$

• Déterminer l’action du sol sur le soc au point $A$. Calculer l’écart entre cette valeur et celle indiquée dans le cahier des charges, puis conclure.

Suite à un demi-tour effectué pour passer d’une rangée à l’autre, l’effort d’amorçage doit respecter le cahier des charges malgré les variations de hauteur du sol de $\pm\,3\ \text{cm}$.

Une simulation réalisée à partir d’un modèle numérique (figure 14) donne l’évolution de cet effort en fonction de la position verticale (direction $\vec y$) du point $A$. La position $0$ correspond à la position de référence.

• Comparer l’effort sur le soc obtenu par simulation et celui spécifié dans le cahier des charges. Conclure.

Gestion de l’alignement latéral des socs de binage

Objectif de cette partie :

• Vérifier les performances du dispositif de positionnement latéral rapide des socs de binage.

Pour que le robot DINO soit performant et concurrentiel, il doit assurer le positionnement des socs au plus près des plants sans les détériorer. Pour cela, un vérin électrique latéral (figure 15) permet de déplacer rapidement et précisément le porte-outils par rapport au châssis du robot.

Ce système automatisé utilise les images d’une caméra située au-dessus du porte-outils afin de contrôler à tout instant la position des socs par rapport aux plants. Les performances attendues sont récapitulées tableau 5.

Afin de valider les performances, il est nécessaire de modéliser la chaîne d’énergie et la chaîne d’acquisition du système. Cette chaîne d’acquisition permet d’obtenir la position des plants par rapport aux socs et de piloter la chaîne d’énergie en conséquence.

Modélisation de la chaîne d’énergie

Les constituants de la chaîne d’énergie sont détaillés figure 16 et l’objectif est de valider le modèle multiphysique représenté figure 17.
Dans ces modèles, la position de l’écrou du dispositif vis/écrou correspond à la position latérale de la tige du vérin électrique et donc des socs.

Les données et paramètres renseignés dans le modèle sont les suivants :

• tension nominale de la batterie $12\ \text{V}$ ;
• résistance de l’induit du moteur $R_\text{m}=0,2\ \Omega$ ;
• constante de force contre électromotrice (fcém) du moteur à courant continu $k_\text{m}=0,0307\ \text{V}\cdot \text{rad}^{-1}\cdot \text{s}$ ;
• rapport de réduction du réducteur $k_\text{r} = \dfrac 1{6,25}$ ;
• pas de la vis $p=5\ \text{mm}$ ;
• couple de frottement sec ramené sur l’axe moteur modélisant l’ensemble des frottements secs (contact des socs avec le sol et balais-collecteur) $C_0=70\ \text{mN}\cdot \text{m}$.
• Déterminer la vitesse de translation de la tige du vérin à partir des données constructeur, en supposant que le moteur tourne à la vitesse de rotation nominale de $3\,600\ \text{tr}\cdot \text{min}^{-1}$ durant tout le déplacement.

Afin de valider le modèle multiphysique du vérin électrique latéral, l’expérience suivante est réalisée : les socs sont rentrés dans le sol à $2\ \text{cm}$ de profondeur et un ordre de déplacement de $10\ \text{cm}$ est donné au vérin électrique pendant que le robot avance. Les résultats expérimentaux et ceux provenant de l’utilisation du modèle multiphysique sont tracés sur la figure 18.

• À partir des résultats de mesure et de simulation (figure 18), déterminer les vitesses expérimentales et simulées de translation de la tige du vérin. Conclure quant à la vitesse de rotation du moteur au cours de son fonctionnement.
• Quantifier les écarts sur la valeur finale du déplacement et le temps de réponse entre d’une part le système simulé et le système réel, et d’autre part entre le système réel et le système souhaité. Conclure sur la validité du modèle.

Le schéma équivalent, en régime établi, de l’induit du moteur à courant continu du vérin électrique est donné à la figure 19. De plus :

• $E=k_\text{m}\omega_\text{m}$, avec $E$ la fcém et $\omega_m$ la vitesse de rotation du moteur ;
• $C_\text{m}=k_\text{m} I_\text{m}$, avec $I_\text{m}$ le courant d’induit et $C_\text{m}$ le couple moteur.

Pour réduire les écarts entre le système simulé et le système réel, deux essais sont effectués pour déterminer expérimentalement les paramètres suivants :

• la résistance d’induit $R_\text{m}$ ;
• la constante de fcém $k_\text{m}$ ;
• le couple total de frottement sec ramené sur l’axe moteur $C_0$ .

Lors du premier essai, les conditions sont les suivantes :

• rotor moteur bloqué ;
• tension d’alimentation du moteur de $1,3\ \text{V}$ ;
• courant d’induit mesuré de $2\ \text{A}$.
• En déduire la valeur mesurée de la résistance d’induit $R_\text{m}$.

Lors d’un deuxième essai similaire à celui ayant donné les résultats de la figure 18, les conditions sont :

• tension d’alimentation maximale de $12\ \text{V}$ ;
• en charge (socs dans la terre).

Le relevé de la vitesse de rotation du moteur pendant le test est donné à la figure 20.

• Déterminer à partir de la réponse expérimentale en régime permanent de l’essai en charge, la constante de fcém $k_\text{m}$ et le couple de frottement sec $C_0$. Justifier l’écart entre le temps de réponse mesuré et celui issu de simulation déterminé à la question 20.

Modélisation de la chaîne d’acquisition

La structure de la chaîne d’acquisition qui permet d’obtenir une image de la position des socs par rapport aux lignes de plants est définie sur la figure 21.

La mesure est obtenue par traitement des images provenant de l’objectif grand angle de la caméra. Le comportement de la chaîne d’acquisition peut être assimilé à un coefficient multiplicateur si le temps de calcul est suffisamment petit, c’est-à-dire inférieur à $30\ \text{ms}$.

L’image initiale, qui comprend quatre rangées de plants, est convertie en niveaux de gris, puis en noir et blanc. L’objectif est de traiter cette information (points noirs sur fond blanc) afin de déterminer la position des plants et de commander le vérin latéral en conséquence. Pour cela, les étapes suivantes sont réalisées :

• identification de quatre droites modélisant les quatre rangées de légumes ;
• détermination de l’écart entre la position des rangées et la position de la caméra.

L’identification mathématique des quatre droites représentant les quatre rangées est basée sur la méthode de RANSAC. L’algorithme de cette méthode choisit aléatoirement des couples de points noirs. Chaque couple de points définit une droite dont les coordonnées sont stockées dans un tableau de flottants de taille $2$.
Pour chaque droite, l’algorithme calcule un score d’autant plus important que la droite passe par d’autres points noirs ou en est proche. La droite retenue est celle qui a le meilleur score et donc celle qui passe par un maximum de plants. La position de ces droites $\text{ POS\textunderscore RANGEE}$ est alors déterminée pour chaque rangée.

Le porte-socs s’aligne sur la position moyenne des rangées de salades notée $\text{POS\textunderscore MOYENNE}$. Le pseudo-code décrivant ce comportement est donné ci-dessous. Les phrases notées en italique et précédées par $\sharp$ sont des commentaires. Les fonctions suivantes sont utilisées :

• $\text{Initialisation}()$ initialise toutes les variables ainsi que la caméra ;
• $\text{Calcul\textunderscore Droite}(i)$ renvoie un tableau de RÉELS contenant les coordonnées de la droite déterminée à partir de deux points choisis aléatoirement dans la rangée i ;
• $\text{Score\textunderscore Droite}(D)$ renvoie le score de la droite $D$ donnée en paramètre ;
• $\text{Calcul\textunderscore Pos\textunderscore Rangee}(D)$ renvoie un nombre RÉEL donnant la position latérale de la droite $D$ donnée en paramètre.

Pseudo-code du comportement :

• Recopier et compléter les lignes 17 à 24 de l’algorithme de RANSAC permettant de déterminer la droite de score maximal.
• Recopier et compléter la ligne 27, permettant de déterminer la position moyenne des rangées, notée $\text{POS\textunderscore MOYENNE}$, à partir des résultats de l’algorithme de RANSAC.

Le traitement informatique est effectué par un calculateur spécifique fonctionnant sous Linux. La simplification suivante est effectuée : chaque itération de la boucle $\text{POUR}$ des lignes 17 à 24 est réalisée en $20\ \mu \text{s}$, le temps des autres instructions est négligé.

Le cahier des charges impose un temps de traitement de l’information inférieur à $30\ \text{ms}$ pour que la chaîne d’acquisition soit assimilée à un gain. Dans l’algorithme de RANSAC, plus le nombre d’itérations maximal est grand, plus l’algorithme est précis. Il existe donc un compromis entre temps de calcul et précision de l’asservissement.

• Déterminer le nombre d’itérations maximal $\text{Nb\textunderscore Iterations\textunderscore max}$ possible permettant de respecter le temps de traitement de l’information du cahier des charges. Conclure.

Vérification des performances du système rebouclé

L’alignement latéral des socs de binage est obtenu par la mise en œuvre des chaînes d’énergie et d’acquisition à l’intérieur d’un système asservi.

Pour rappel, les performances attendues de l’asservissement sont les suivantes :

• pas de dépassement pour ne pas risquer de dégrader les plants ;
• pas d’écart statique en régime permanent sur la position des socs ;
• temps de réponse à $5\ \%$ inférieur à $0,3\ \text{s}$ pour une consigne de $1\ \text{cm}$.

L’exploitation d’un modèle multiphysique permet d’obtenir la courbe de la figure 24.

• Vérifier si toutes les performances exigées par le cahier des charges données sur le tableau 5 sont respectées. Conclure quant à la qualité de l’alignement des socs par cette solution intégrant un traitement algorithmique de l’image.

Synthèse

• Conclure sur la pertinence économique, écologique et technique de la mise en œuvre du robot DINO.