Sujet zéro 2021 - Spécialité mathématiques - Corrigé

Exercice 1 commun à tous les candidats (5 points)

Dans cet exercice, les justifications ne sont pas obligatoires pour la copie. Nous les donnons néanmoins, avec quelques astuces, pour montrer les raisonnements et les calculs à mener. Pour les cas concernés, nous indiquons aussi pourquoi les autres réponses ne conviennent pas.

Question 1

• La bonne réponse est : « La suite $(w_n)$ converge vers $1$ ».

Par le théorème de la limite de $(q^n)$, avec $q=\frac 14$ et donc $0 < q < 1$ :

$$\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac 14\right)^n=0$$

Nous avons donc, par somme des limites :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{n \to +\infty} u_n&=\lim\limits_{n \to +\infty} 1-\overbrace{\left(\dfrac 14\right)^n}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\to 0}}} \\ &=1 \\ \\ \lim\limits_{n \to +\infty} v_n&=\lim\limits_{n \to +\infty} 1+\overbrace{\left(\dfrac 14\right)^n}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\to 0}}} \\ &=1 \end{aligned}$$

Donc, par le théorème des gendarmes :

$$\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=1$$

Regardons les autres réponses et pourquoi elles ne conviennent pas.

• Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont géométriques.

Rappelons l’expression explicite du terme général d’une suite géométrique $(a_n)$ de raison $q$ et de premier terme $a_0$.
Pour tout $n\in \mathbb N$ :

$$a_n=a_0\times q^n$$

Cela ne correspond pas ni à la définition de $(u_n)$ ni à celle de $(v_n)$.

• La suite $(u_n)$ est minorée par $1$.

Une suite est minorée par un réel $m$ si tous ses termes sont supérieurs ou égaux à $m$.
Et une suite est majorée par un réel $M$ si tous ses termes sont inférieurs ou égaux à $m$.

Or, pour tout $n\in\mathbb N$ :

$$\begin{aligned} 0 < \left(\dfrac 14\right)^n \leq 1 &\Leftrightarrow 0 \leq 1-\left(\dfrac 14\right)^n < 1 \\ &\Leftrightarrow 0 \leq u_n < 1 \end{aligned}$$

$(u_n)$ est minorée par $0$ et majorée par $1$.

• La suite $(w_n)$ est croissante.

Aucune information de l’énoncé ne nous permet de donner la monotonie de $(w_n)$. Elle peut converger vers $1$ sans être monotone.

Question 2

• La bonne réponse est : « $f^{\prime}(x)=(1+2x^2) \text{e}^{x^2}$ ».

Pour tout $x$ réel :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=1\times \text{e}^{x^2}+x\times 2\times x\times \text{e}^{x^2} \\ &=\text{e}^{x^2}+2x^2\text{e}^{x^2} \\ &=\text{e}^{x^2}(1+2x^2) \end{aligned}$$

Question 3

• La bonne réponse est : « $\frac 12$ ».

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac {x^2-1}{2x^2-2x+1}&=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac {x^2\left(1-\frac 1{x^2}\right)}{x^2\left(2-\frac 2x+\frac 1{x^2}\right)} \\ &=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac { 1-\frac 1{x^2}}{2-\frac 2x+\frac 1{x^2}} \\ &=\dfrac 12\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par somme et quotient des limites]}}} \end{aligned}$$

Question 4

• La bonne réponse est : « Il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[0\ ;\, 1]$ tel que $h(a)=1$ ».

$h$ est continue sur $[-1\ ;\, 1]$, donc elle est continue sur $[-1\ ;\, 0]$.
Nous avons $h(-1)=0$ et $h(0)=2$, donc $h(-1) < 1 < h(0)$.

Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $a\in [-1\ ;\, 0]$ tel que $h(a)=1$.

Regardons les autres réponses et pourquoi elles ne conviennent pas.
Ici, puisqu’il s’agit de montrer que les réponses ne conviennent pas, il nous suffit de donner un contre-exemple ; c’est donc ce que nous allons faire.

• La fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1\ ;\, 0]$.

Les informations de l’énoncé ne nous permettent pas de dire que $h$ est croissante : par exemple, $h$ pourrait être décroissante sur $\left[-1\ ;\,-\frac 12\right]$ et croissante sur $\left[-\frac 12\ ;\, 0\right]$, cela ne viendrait pas en contradiction avec $h(-1)=0$ et $h(0)=2$.

• La fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1\ ;\, 1]$.

Là non plus, les informations de l’énoncé ne nous permettent pas de conclure : par exemple, $h$ pourrait être positive sur $\left[-1\ ;\,\frac 12\right]$ et négative sur $\left[\frac 12\ ;\, 1\right]$, cela ne viendrait pas en contradiction avec $h(-1)=0$, $h(0)=2$ et $h(1)=0$.

• L’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-1\ ;\, 1]$.

Encore une fois, nous n’avons pas assez d’informations pour conclure : par exemple, $h$ pourrait être, sans contredire les données de l’énoncé :

• croissante sur $\left[-1\ ;\,-\frac 23\right]$, avec $h\left(-\frac 23\right)=3$,
• décroissante sur $\left[-\frac 23\ ;\, -\frac 13\right]$, avec $h\left(-\frac 13\right)=-1$,
• croissante sur $\left[-\frac 13\ ;\, 0\right]$,
• et décroissante sur $[0\ ;\, 1]$.

En appliquant le corollaire du TVI successivement sur ces intervalles, nous trouverions que $h(x)=1$ admet exactement quatre solutions sur $[-1\ ;\, 1]$.

Question 5

• La bonne réponse est : « $g$ est convexe sur l’intervalle $[1\ ;\, 2]$ ».

D’après sa courbe représentative, $g^{\prime}$ est croissante sur $[1\ ;\, 2]$, donc $g$ est convexe sur cet intervalle.

Regardons les autres réponses et pourquoi elles ne conviennent pas.

• $g$ admet un maximum en $-2$.

$g^{\prime}$ ne s’annule pas en $-2$, donc $g$ n’admet pas d’extremum en $-2$.

• $g$ est croissante sur l’intervalle $[1\ ;\, 2]$.

Encore une fois, c’est la courbe représentative de $g^{\prime}$ qui nous est donnée, et non celle de $g$.
Sur $[1\ ;\, 2]$, $g^{\prime}$ est négative, donc $g$ est décroissante sur cet intervalle.

• $g$ admet un minimum en $0$.

$g^{\prime}$ s’annule en $0$ en changeant de signe : elle est positive avant et négative ensuite. $g$ admet donc un maximum local (et non un minimum) en $0$.

Exercice 2 commun à tous les candidats (5 points)

Question 1

• Question a.

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AI\ }&=\overrightarrow{AE\ }+\overrightarrow{EI\ } \\ &=\overrightarrow{AE\ }+\dfrac 12\cdot \overrightarrow{EF\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ (car $I$ est le milieu de $[EF]$)}}} \\ &=\overrightarrow{AE\ }+\dfrac 12\cdot \overrightarrow{AB\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ (car $\overrightarrow{EF\ }=\overrightarrow{AB\ }$)}}} \\ &=\dfrac 12\cdot \overrightarrow{AB\ }+0\cdot \overrightarrow{AD\ }+1\cdot \overrightarrow{AE\ } \end{aligned}$$

• Nous trouvons donc les coordonnées de $I$ :

$$\boxed{I\left(\dfrac 12\ ;\, 0\ ;\, 1\right)}$$

De la même façon :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AJ\ }&=\overrightarrow{AE\ }+\overrightarrow{EJ\ } \\ &=\overrightarrow{AE\ }+2\cdot \overrightarrow{EF\ } \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(car $\overrightarrow{EJ\ }=2\cdot \overrightarrow{EF\ }$, $J$ étant le symétrique de $E$ par rapport à $F$)}}} \\ &=\overrightarrow{AE\ }+2\cdot \overrightarrow{AB\ } \\ &=2\cdot \overrightarrow{AB\ }+0\cdot \overrightarrow{AD\ }+1\cdot \overrightarrow{AE\ } \end{aligned}$$

• Nous trouvons donc les coordonnées de $J$ :

$$\boxed{J\,(2\ ;\, 0\ ;\, 1)}$$

• Question b.

Dans le repère $(A\ ;\, \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{AE\ })$, nous avons bien sûr : $B\,(1\ ;\, 0\ ;\, 0)$ et $D\,(0\ ;\, 1\ ;\, 0)$.
Et comme $ABCDEFGH$ est un cube, nous avons aussi : $G\,(1\ ;\, 1\ ;\, 1)$.

• En utilisant les résultats de la question précédente, nous obtenons :

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Coordonnées de $\overrightarrow{DJ\ }$\ :}} &\begin{pmatrix} 2-0 \\ 0-1 \\ 1-0 \end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Coordonnées de $\overrightarrow{BI\ }$\ :}} &\begin{pmatrix} \frac 12-1 \\ 0-0 \\ 1-0 \end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix} -\frac 12 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Coordonnées de $\overrightarrow{BG\ }$\ :}} &\begin{pmatrix} 1-1 \\ 1-0 \\ 1-0 \end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}} \end{aligned}$$

• Question c.

Prenons comme base du plan $(BGI)$ : $(\overrightarrow{BI\ },\overrightarrow{BG\ })$ (nous voyons graphiquement que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, ce qui est confirmé par leurs coordonnées calculées à la question précédente).
Et montrons que $\overrightarrow{DJ\ }$ est orthogonal à $\overrightarrow{BI\ }$ et à $\overrightarrow{BG\ }$.

Le repère $(A\ ;\, \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{AE\ })$ est orthonormé. Donc :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{DJ\ }\cdot \overrightarrow{BI\ }&=2\times \left(-\dfrac 12\right)+(-1)\times 0+1\times 1 \\ &=\boxed{0} \\ \overrightarrow{DJ\ }\cdot \overrightarrow{BG\ }&=2\times 0+(-1)\times 1+1\times 1 \\ &=\boxed{0} \end{aligned}$$

$\overrightarrow{DJ\ }$ est orthogonal à une base de $(BGI)$.

• $\overrightarrow{DJ\ }$ est donc un vecteur normal au plan $(BGI)$.
• Question d.

Méthode 1

Nous venons de montrer que $\overrightarrow{DJ\ }\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $(BGI)$.

• Nous en déduisons, avec $d$ un réel, qu’une équation cartésienne de $(BGI)$ est :

$$2x-y+z+d=0$$

• Déterminons $d$ avec, par exemple, les coordonnées de $B\,(1\ ;\, 0\ ;\, 0)$, qui appartient évidemment à $(BGI)$ :

$$2\times 1-0+0+d=0\Leftrightarrow d=-2$$

• Une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est donc bien :

$$\boxed{2x-y+z-2=0}$$

Méthode 2

Comme $\overrightarrow{DJ\ }$ est un vecteur normal à $(BGI)$, qui passe par $B$, nous avons :

$$2\times (x-1)+(-1)\times (y-0)+1\times (z-0)=0 \Leftrightarrow \boxed{2x-y+z-2=0}$$

Question 2

• Question a.

$d$ passe par le point $F$, qui a pour coordonnées $(1\ ;\, 0\ ;\, 1)$.
Nous avons montré dans la question précédente que le vecteur $\overrightarrow{DJ\ }$ est normal au plan $(BGI)$, donc $(\overrightarrow{DJ\ })\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de toute droite orthogonale à $(BGI)$, dont $d$.

• Nous en déduisons une équation paramétrique de $d$ :

$$\begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t & \text{où } t \in \mathbb R \\ z=t+1 \end{cases}$$

• Question b.

Méthode 1

Montrons que $L\left(\frac 23\ ;\, \frac 16\ ;\, \frac 56\right)$ appartient à $d$.

• Autrement dit, montrons que le système suivant admet une solution :

$$\begin{aligned} \begin{cases} \frac 23=2t+1 \\ \frac 16=-t \\ \frac 56=t+1 \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} 2t=-\frac 13 \\ t=-\frac 16 \\ t=-\frac 16 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} t=-\frac 16 \\ t=-\frac 16 \\ t=-\frac 16 \end{cases} \\ \end{aligned}$$

• Le système admet une solution, donc $\boxed{L\in d}$.

Montrons maintenant que $L$ appartient à $(BGI)$.

• Autrement dit, montrons que les coordonnées de $L$ vérifient l’équation cartésienne de $(BGI)$ que nous avons donnée.

$$\begin{aligned} 2\times \dfrac 23-\dfrac 16+\dfrac 56-2&=\dfrac 43+\dfrac 23-2 \\ &=0 \end{aligned}$$

• Les coordonnées de $L$ vérifient bien l’équation cartésienne de $(BGI)$, donc $\boxed{L\in (BGI)}$.

Conclusion : $L$ appartient à $d$ et à $(BGI)$, donc $L$ est le point d’intersection de $d$ et $(BGI)$.

Méthode 2

Nous pouvons aussi chercher les coordonnées du point d’intersection de $d$ et $(BGI)$ ($d$ étant orthogonale à $(BGI)$, elle le coupe nécessairement en un seul point) et montrer que ce sont celles de $L$.

• Pour déterminer ces coordonnées, nous résolvons le système suivant :

$$\begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t \\ z=t+1 \\ 2x-y+z-2=0 \end{cases}$$

Nous remplaçons dans la dernière ligne $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en $t$ :

$$\begin{aligned} \begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t \\ z=t+1 \\ 2x-y+z-2=0 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t \\ z=t+1 \\ \purple{2\times (2t+1)-(-t)+(t+1)-2=0} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t \\ z=t+1 \\ \purple{4t+2+t+t+1-2=0}\end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t \\ z=t+1 \\ \purple{6t=-1}\end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t \\ z=t+1 \\ \purple{t=-\frac 16}\end{cases} \end{aligned}$$

Nous pouvons maintenant déterminer les coordonnées :

$$\begin{cases} x=2t+1 \\ y=-t \\ z=t+1 \\ t=-\frac 16\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \purple{x=2\times \left(-\frac 16\right)+1=\frac 23} \\ \purple{y=-\left(-\frac 16\right)= \frac 16} \\ \purple{z=-\frac 16+1=\frac 56} \\ t=-\frac 16\end{cases}$$

$d$ et $(BGI)$ se coupe au point de coordonnées $\left(\frac 23\ ;\, \frac 16\ ;\, \frac 56\right)$. Ce sont les coordonnées de $L$.

• $L$ est le point d’intersection de $d$ et $(BGI)$.

Question 3

• Question a.

Considérons par exemple le triangle $BFG$, qui est isocèle et rectangle en $F$.
C’est une base de la pyramide $FBGI$, avec $[FI]$ comme hauteur associée. Et nous avons :

$$FB=FG=1\qquad FI=\dfrac 12$$

• Nous en déduisons le volume $V$ de $FBGI$ :

$$\begin{aligned} V&=\dfrac 13\times \left(\dfrac{FB\times FG}2\right)\times FI \\ &=\dfrac 13\times \left(\dfrac{1\times 1}2\right)\times \dfrac 12 \\ &=\boxed{\dfrac 1{12}\ \text{u.v.}} \end{aligned}$$

Remarque : Nous avons précisé « par exemple » lors du choix du triangle $BFG$ comme base de $FBGI$, mais, pour un résultat identique, nous aurions aussi pu prendre comme base :

• le triangle $BFI$, avec pour hauteur associée $[FG]$ ;
• ou encore le triangle $IFG$, avec pour hauteur associée $[FB]$.
• Question b.

Dans la question 2, nous avons montré que la droite $d$ et le plan $(BGI)$ se coupent au point $L$. En outre, la droite passe aussi par $F$ et est orthogonale à $(BGI)$.

• Ainsi, $[FL]$ est la hauteur de la pyramide $FBGI$ associée à la base $BGI$.

Calculons maintenant la longueur $FL$, qui est égale à la norme du vecteur $\overrightarrow{FL\ }$.
Et nous connaissons les coordonnées de $F\,(1\ ;\, 0\ ;\, 1)$ et de $L\left(\frac 23\ ;\, \frac 16\ ;\, \frac 56\right)$, nous en déduisons les coordonnées de $\overrightarrow{FL\ }$ :

$$\begin{pmatrix} \vphantom{\dfrac 11}\frac 23-1 \\ \vphantom{\dfrac 11}\frac 16-0 \\ \vphantom{\dfrac 11}\frac 56-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \vphantom{\dfrac 11}-\frac 13 \\ \vphantom{\dfrac 11}\frac 16 \\ \vphantom{\dfrac 11}- \frac 16 \end{pmatrix}$$

Nous travaillons dans un repère orthonormé, donc :

$$\begin{aligned} FL&=\Vert \overrightarrow{FL\ }\Vert \\ &=\sqrt{\left(-\dfrac 13\right)^2+\left(\dfrac 16\right)^2+\left(-\dfrac 16\right)^2} \\ &=\sqrt{\dfrac 19+\dfrac 1{18}} \\ &=\sqrt{\dfrac 16} \\ &=\dfrac 1{\sqrt 6} \end{aligned}$$

Remarque : Nous choisissons ici de laisser la valeur de $FL$ sous cette forme, pour faciliter le calcul ci-dessous. Cependant, en toute rigueur, car le mathématicien n’aime pas les racines carrées en dénominateur, il faudrait écrire : $FL=\frac {\sqrt{6}}6$.

Notons $\mathcal A$ l’aire du triangle $BGI$. Nous avons ainsi :

$$V=\dfrac 13\times \mathcal A\times FL$$

• Avec les résultats que nous avons trouvés, nous obtenons :

$$\begin{aligned} \dfrac 1{12}=\dfrac 13\times \mathcal A\times \dfrac 1{\sqrt{6}} \Leftrightarrow \mathcal A&=\dfrac 1{12}\times 3\times \sqrt{6} \\ &=\boxed{\dfrac {\sqrt{6}}4\ \text{u.a.}} \end{aligned}$$

Exercice 3 commun à tous les candidats (5 points)

Nous avons, d’après l’énoncé :

$$\begin{aligned} p(A)&=\dfrac{75}{300}=\dfrac 14 \\ p(\bar A)&=1-\dfrac 14=\dfrac 34 \\ \\ p_A(R_1)&=\dfrac{50}{75}=\dfrac 23 \\ p_A(R_2)&=\dfrac{25}{75}=\dfrac 13 \\ p_A(R_3)&=0 \\ \\ p_{\bar A}(R_1)&=\dfrac{100}{225}=\dfrac 49 \\ p_{\bar A}(R_2)&=\dfrac{75}{225}=\dfrac 13 \\ p_{\bar A}(R_3)&=\dfrac{50}{225}=\dfrac 29 \\ \end{aligned}$$

Question 1

Nous avons en préambule écrit toutes les probabilités, il suffit donc de les reporter dans l’arbre pondéré :

Question 2

• Question a.

La probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation, c’est :

$$\begin{aligned} p(A\cap R_2)&=p(A)\times p_A(R_2) \\ &=\dfrac 14\times \dfrac 13 \\ &=\boxed{\dfrac 1{12}} \end{aligned}$$

• Question b.

La probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation, c’est $p(R_2)$.
$A$ et $\bar A$ forment une partition de l’univers, nous pouvons utiliser la formule des probabilités totales :

$$\begin{aligned} p(R_2)&=p(A\cap R_2)+p(\bar A\cap R_2) \\ &=\dfrac 1{12}+\dfrac 34\times \dfrac 13 \\ &=\dfrac 4{12} \\ &=\boxed{\dfrac 13} \end{aligned}$$

• Question c.

Nous cherchons à calculer la probabilité, sachant que la personne a réussi l’examen à sa deuxième présentation, qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée, c’est-à-dire : $p_{R_2}(A)$.

• En utilisant les résultats précédents :

$$\begin{aligned} p_{R_2}(A)&=\dfrac{p(A\cap R_2)}{p(R_2)} \\ &=\dfrac{\frac 1{12}}{\frac 13} \\ &=\dfrac 3{12} \\ &=\boxed{\dfrac 14} \end{aligned}$$

Question 3

• Question a.

$X$ prend ses valeurs dans $\lbrace 1,\,2,\,3\rbrace$. Nous cherchons donc à déterminer $p(X=1)=p(R_1)$, $p(X=2)=p(R_2)$ et $p(X=3)=p(R_3)$.

Nous avons déjà calculé : $p(R_2)=\frac 13$.

Là aussi avec la formule des probabilités totales :

$$\begin{aligned} p(R_1)&=p(A\cap R_1)+p(\bar A\cap R_1) \\ &=\dfrac 14\times \dfrac 23+\dfrac 34\times \dfrac 49 \\ &=\dfrac 16+\dfrac 13 \\ &=\dfrac 36 \\ &=\dfrac 12 \\ \\ p(R_3)&=p(A\cap R_3)+p(\bar A\cap R_3) \\ &=\dfrac 14\times 0+\dfrac 34\times \dfrac 29 \\ &=\dfrac 16 \end{aligned}$$

• La loi de probabilité de $X$ est donné par le tableau suivant :

• Question b.

L’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est :

$$\begin{aligned} E(X)&=\sum_{i=1}^3 x_i\, p(X=x_i) \\ &=1\times \dfrac 12+2\times \dfrac 13+3\times \dfrac 16 \\ &=\dfrac 12+\dfrac 23+\dfrac 12 \\ &=\boxed{\dfrac 53}\approx 1,67 \end{aligned}$$

• Nous pouvons interpréter ce résultat ainsi : les candidats du groupe se sont présentés, en moyenne, $1,67$ fois pour obtenir leur permis.

Question 4

• Question a.

Considérons la variable aléatoire $Y$ qui compte, parmi les $n$ personnes choisies, le nombre de candidats ayant réussi l’examen au troisième essai.
Le choix est répété de manière indépendante $n$ fois.

• $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\frac 16$.

$p(Y=0)$ est la probabilité que, parmi les $n$ personnes, aucune ne l’ait réussi à la troisième présentation – autrement dit : que les $n$ personnes aient réussi à la première ou à la deuxième présentation.

• Nous utilisons la formule pour les probabilités d’une loi binomiale :

$$\begin{aligned} p(Y=0)&=\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}p^0(1-p)^{n-0} \\ &=1\times 1\times \left(1-\dfrac 16\right)^n \\ &=\left(\dfrac 56\right)^n \\ \end{aligned}$$

• L’événement recherché est donc l’événement contraire de $\lbrace Y=0\rbrace$, soit $\lbrace Y > 0\rbrace$, c’est-à-dire : « Au moins un candidat, parmi les $n$ personnes, a réussi l’examen au troisième essai », car nous avons bien :

$$p(Y > 0)=1-\left(\dfrac 56\right)^n$$

• Question b.
• La commande $\bold{seuil(0.9)}$ renverra le plus petit entier $n_0$ tel que :

$$1-\left(\dfrac 56\right)^{n_0} > 0,9$$

Pour déterminer la valeur de $n_0$ qui sera renvoyée par la commande, il faut résoudre l’inéquation : $1-\left(\frac 56\right)^n > 0,9$.

$$1-\left(\dfrac 56\right)^n > 0,9 \Leftrightarrow \left(\dfrac 56\right)^n < 0,1$$

Comme $\left(\frac 56\right)^n > 0$ pour tout entier naturel $n$ et $0,1 > 0$, par stricte croissance de la fonction logarithme népérien sur $\mathbb R^{*+}$, nous pouvons écrire :

$$\begin{aligned} \left(\dfrac 56\right)^n < 0,1 &\Leftrightarrow \ln\Bigg(\left(\dfrac 56\right)^n\Bigg) < \ln{(0,1)} \\ &\Leftrightarrow n\ln\left(\dfrac 56\right) < \ln{(0,1)} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\ln{(a^n)}=n\ln{(a)}$]}}} \\ &\Leftrightarrow n > \dfrac {\ln{(0,1)}}{ \ln\left(\frac 56\right)} \approx 12,629 \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\frac 56\in\ ]0\ ;\, 1[$ et $\ln\left(\frac 56\right)< 0$]}}} \end{aligned}$$

Le plus petit entier strictement supérieur à $12,629$ est $13$.

• La commande $\bold{seuil(0.9)}$ renverra donc la valeur de $\boxed{13}$.
• Nous interprétons ce résultat ainsi : si nous voulons qu’il y ait, parmi les personnes choisies, au moins un candidat qui ait réussi l’examen au troisième essai, et ce avec une probabilité de $0,9=90\,\%$, il faudra choisir au moins $13$ personnes.

Exercice A

Partie I

• Question 1.

$f$ est définie et dérivable sur $]0\ ;\, +\infty[$. Elle est donc dérivable en $\frac 1{\text{e}}$ et $1$.

• $T_A$ est la tangente à $\mathcal C_f$ au point $A\left(\frac 1{\text{e}}\ ;\, \text{e}\right)$. Son coefficient directeur est donc $f^{\prime}\left(\frac 1{\text{e}}\right)$.
• Or, elle est parallèle à l’axe des abscisses, son coefficient directeur est donc nul :

$$\boxed{f^{\prime}\left(\frac 1{\text{e}}\right)=0}$$

• $T_B$ est la tangente à $\mathcal C_f$ au point $B\,(1\ ;\, 2)$. Son coefficient directeur est donc $f^{\prime}(1)$. Or, elle passe par les points de coordonnées $(0\ ;\, 3)$ et $(3\ ;\, 0)$. Son coefficient directeur vaut donc :

$$\dfrac{0-3}{3-0}=-1$$

• Ainsi, nous obtenons :

$$\boxed{f^{\prime}(1)=-1}$$

• Question 2.

Nous avons calculé dans la question précédente le coefficient directeur de $T_B$, qui est égal à $1$. Nous savons en outre que son ordonnée à l’origine vaut $3$.

• Nous en déduisons son équation réduite :

$$\boxed{y=-x+3}$$

Partie II

• Question 1.

Nous avons $A$ de coordonnées $\left(\frac 1{\text{e}}\ ;\, \text{e}\right)$ :

$$\begin{aligned} f\left(\dfrac 1{\text{e}}\right)&=\dfrac{2+\ln\left(\frac 1{\text{e}}\right)}{\frac 1{\text{e}}} \\ &=\big(2-\ln{(\text{e})}\big)\times \text{e} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\ln\left(\frac 1b\right)=-\ln {(b)}$]}}} \\ &=(2-1)\times \text{e} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\ln{(\text{e})}=1$]}}} \\ &=\text{e} \end{aligned}$$

• $A$ appartient bien à $C_f$.

De la même façon, avec $B$ de coordonnées $(1\ ;\, 2)$ :

$$\begin{aligned} f(1)&=\dfrac {2+\ln{(1)}}1 \\ &=2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\ln{(1)}=0$]}}} \end{aligned}$$

• $B$ appartient bien à $C_f$.

Résolvons maintenant l’équation :

$$\begin{aligned} f(x)=0 &\Leftrightarrow \dfrac{2+\ln{(x)}}x=0 \\ &\Leftrightarrow 2+\ln{(x)}=0 \\ &\Leftrightarrow \ln{(x)}=-2 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^{\ln{(x)}}=\text{e}^{-2} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par stricte croissance de $\exp$ sur $\mathbb R$]}}} \\ &\Leftrightarrow x=\text{e}^{-2} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\exp$ et $\ln$ sont des fonctions réciproques]}}} \\ &\Leftrightarrow x=\dfrac 1{\text{e}^2} \end{aligned}$$

• $\mathcal C_f$ coupe donc l’axe des abscisses en un seul point, de coordonnées $\left(\frac 1{\text{e}^2}\ ;\, 0\right)$.
• Question 2.

• Calculons la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives.

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0} f(x) &=\lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0} \dfrac{2+\ln{(x)}}x \\ &=\lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0} \dfrac 1x\times \big(2+\ln{(x)}\big) \end{aligned}$$

Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives :

• par quotient des limites, $\frac 1x$ tend vers $+\infty$,
• par somme des limites, $2+\ln{(x)}$ tend vers $-\infty$.
• Donc, par produit des limites :

$$\boxed{\lim\limits_{x \to 0 \atop x > 0}f(x)=-\infty}$$

• Calculons la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)&=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2+\ln{(x)}}x \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [F.I. du type « $\frac \infty\infty$ »]}}} \\ &=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac 2x+\dfrac{\ln{(x)}}x \end{aligned}$$

Quand $x$ tend vers $+\infty$ :

• par quotient des limites, $\frac 2x$ tend vers $0$,
• par croissances comparées, $\frac{\ln{(x)}}x$ tend vers $0$.
• Donc, par somme des limites :

$$\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0}$$

• Question 3.

Comme quotient de deux fonctions dérivables sur $]0\ ;\, +\infty[$ (avec donc $x$ qui ne s’annule pas), $f$ est dérivable sur $]0\ ;\, +\infty[$.

• Pour tout $x \in\ ]0\ ;\, +\infty[$ :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\dfrac{\frac 1x\times x-\big(2+\ln{(x)}\big)\times 1}{x^2} \\ &=\dfrac{1-2-\ln{(x)}}{x^2} \\ &=\boxed{\dfrac {-1-\ln{(x)}}{x^2}} \\ \end{aligned}$$

• Question 4.

$x^2$ est strictement positif pour tout $x\in\ ]0\ ;\, +\infty[$.

• $f^{\prime}(x)$ est donc du signe de $-1-\ln{(x)}$.

Nous avons :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x)=0&\Leftrightarrow -1-\ln{(x)}=0 \\ &\Leftrightarrow \ln{(x)}=-1 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^{\ln{(x)}}=\text{e}^{-1} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par stricte croissance de $\exp$ sur $\mathbb R$]}}} \\ &\Leftrightarrow x=\dfrac 1{\text{e}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\exp$ et $\ln$ sont des fonctions réciproques]}}} \end{aligned}$$

Nous étudions maintenant le signe de $f^{\prime}(x)$, en utilisant les mêmes propriétés que dans le dernier calcul :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x) < 0&\Leftrightarrow -1-\ln{(x)} < 0 \\ &\Leftrightarrow \ln{(x)} > -1 \\ &\Leftrightarrow x > \dfrac 1{\text e} \\ \\ f^{\prime}(x) > 0&\Leftrightarrow -1-\ln{(x)} > 0 \\ &\Leftrightarrow\ln{(x)} < -1 \\ &\Leftrightarrow x < \dfrac 1{\text e} \end{aligned}$$

• Nous pouvons maintenant donner le tableau de variations de $f$ :

• Question 5.

Nous cherchons le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe, c’est-à-dire sur lequel $f^{\prime\prime}$ est positive.

• Nous résolvons donc l’inéquation suivante :

$$\begin{aligned} f^{\prime\prime}(x) \geq 0 &\Leftrightarrow \dfrac{1+2\ln{(x)}}{x^3} \geq 0 \\ &\Leftrightarrow 1+2\ln{(x)}\geq 0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ (car $x^3 > 0$ pour tout $x\in\ ]0\ ;\, +\infty[$)}}} \\ &\Leftrightarrow \ln{(x)} \geq -\dfrac 12 \\ &\Leftrightarrow \text{e}^{\ln{(x)}} \geq \text{e}^{-\frac 12} \\ &\Leftrightarrow x \geq \text{e}^{-\frac 12} \end{aligned}$$

• Ainsi, le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe est :

$$\boxed{[\text{e}^{-\frac 12}\ ;\, +\infty[}$$

Exercice B

Question 1

• Question a.

Selon la modélisation donnée, $f(0)$ représente la température des baguettes à la sortie du four, soit les $225\,\degree \text{C}$ indiqués par l’énoncé.

• $\boxed{f(0)}=225$.
• Question b.

Nous avons l’équivalence suivante :

$$ y^{\prime}+6y=150\Leftrightarrow y^{\prime}=-6y+150$$

Les solutions de l’équation différentielles sont donc les fonctions $f_C$ définies sur $[0\ ;\, +\infty[$ par :

$$\begin{aligned} f_C(t)&= C\text{e}^{-6t}-\dfrac {150}{-6} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $C\in \mathbb R$]}}} \\ &= \boxed{C\text{e}^{-6t}+25} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $C\in \mathbb R$]}}} \end{aligned}$$

• Question c.

La fonction $f$ est solution de l’équation différentielle.

• Il existe donc un réel $C_0$ tel que, pour tout $t\geq 0$ :

$$f(t)=C_0\text{e}^{-6t}+25$$

Déterminons $C_0$ avec la condition initiale : $f(0)=225$ (d’après la question 1.a).

$$\begin{aligned} f(0)=225 &\Leftrightarrow C_0\text{e}^{-6\times 0}+25 = 225 \\ &\Leftrightarrow C_0=225-25=200 \end{aligned}$$

• Nous avons donc bien, pour tout réel $t\geq 0$ :

$$\boxed{f(t)=200 \text{e}^{-6t}+25}$$

Question 2

• $f$ est dérivable sur $[0\ ;\, +\infty[$, et pour tout $t\geq 0$ :

$$\begin{aligned} f^{\prime}(t)&=200\times (-6)\times \text{e}^{-6t} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{[(\text{e}^u)^{\prime}=u^{\prime}\text{e}^u]}} \\ &=-1\,200\text{e}^{-6t} \end{aligned}$$

Or, la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$ et, pour tout $t\geq 0$, $\text{e}^{-6t} > 0$.
Ainsi, $f^{\prime}$ est du signe de $-1\,200$, donc strictement négative, sur $[0\ ;\, +\infty[$.

• $f$ est strictement décroissante sur $[0\ ;\, +\infty[$.
• Calculons maintenant la limite de $f(t)$ en $+\infty$.

Quand $t$ tend vers $+\infty$, $-6t$ tend vers $-\infty$.
Or, nous savons que : $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x=0$.

• Nous trouvons donc :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{t \to +\infty} f(t)&= \lim\limits_{t \to +\infty} 200 \text{e}^{-6t}+25 \\ &=25 \end{aligned}$$

• $f$ a pour limite $25$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
• Par expérience, on observe que :
• la température d’une baguette sortie du four décroît,
• $f$ est strictement décroissante, ce qui en accord avec cette observation ;
• la température tend à se stabiliser à la température ambiante (i.e. $25\,\degree \text{C}$),
• $f$ tend vers $25$ quand $t$ tend vers $+\infty$, ce qui est aussi en accord avec cette observation.

Conclusion : la fonction $f$ fournit un modèle en accord avec ces observations.

Question 3

$f$ est dérivable sur $[0\ ;\, +\infty[$.

• Elle est donc continue sur cet intervalle.

D’après les questions 1.a et 2, $f(0)=225$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=25$.

• $40$ est bien compris entre $25$ et $225$.

Aussi d’après la question 2, $f$ est strictement décroissante sur $[0\ ;\, +\infty[$.

• Elle est donc strictement monotone sur cet intervalle.

Conclusion : d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(t)=40$ admet une unique solution dans $[0\ ;\, +\infty[$.

Question 4

Il suffit ici de regarder le point de $\mathcal C_f$ d’ordonnée $40$ : son abscisse correspondra à la valeur recherchée. Et, avec la précision permise par le graphique, nous trouvons environ $0,42\ \text{h}$.

• Soit, en minutes :

$$\begin{aligned} T_0&\approx 60\times 0,42 \\ &\approx \boxed{25\ \text{min}} \end{aligned}$$

• Nous pouvons interpréter ce résultat : le boulanger devra attendre environ $25$ minutes après la sortie du four pour pouvoir mettre une baguette en rayon.

Question 5

• Question a.

Nous calculons $D_0$ en utilisant la définition de $(D_n)$ :

$$\begin{aligned} D_0&= f\left(\dfrac 0{60}\right)-f\left(\dfrac {0+1}{60}\right) \\ &= f(0)-f\left(\dfrac {1}{60}\right) \\ &=200 \text{e}^{-6\times 0}+25-(200 \text{e}^{-6\times \frac 1{60}}+25) \\ &=200(1-\text{e}^{-\frac 1{10}}) \\ &\approx 19,0 \end{aligned}$$

• $19$ est donc bien une valeur approchée de $D_0$ à $0,1$ près.
• Nous interprétons ce résultat ainsi : une minute après sa sortie du four, la température de la baguette a diminué d’environ $19\,\degree \text{C}$, sa température est donc d’environ : $225-19=206\,\degree \text{C}$.
• Question b.

Avec la définition de la suite $(D_n)$ et celle de la fonction $f$, nous avons :

$$\begin{aligned} D_n&=f\left(\dfrac n{60}\right)-f\left(\dfrac {n+1}{60}\right) \\ &=200\, \text{e}^{-6\times \frac n{60}}+25-(200\, \text{e}^{-6\times \frac {n+1}{60}}+25) \\ &=200\left( \text{e}^{-\frac 1{10} n}- \text{e}^{-\frac 1{10}n-\frac 1{10}} \right) \\ &=200\left( \text{e}^{-0,1 n}- \text{e}^{-0,1n}\,\text{e}^{-0,1} \right)\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\text{e}^{a+b}=\text{e}^a\,\text{e}^b\,$]}}} \\ &=\boxed{200\,\text{e}^{-0,1n}(1- \text{e}^{-0,1} )} \end{aligned}$$

D’après le dernier résultat, nous avons, pour tout entier naturel $n$ :

$$\begin{aligned} D_{n+1}-D_n &= 200\,\text{e}^{-0,1(n+1)}(1- \text{e}^{-0,1} )-\big(200\,\text{e}^{-0,1n}(1- \text{e}^{-0,1} )\big) \\ &=200\big( \text{e}^{-0,1n}\,\text{e}^{-0,1}(1-\text{e}^{-0,1})-\text{e}^{-0,1n} (1-\text{e}^{-0,1})\big) \\ &=200\,\text{e}^{-0,1n}(1-\text{e}^{-0,1})(\text{e}^{-0,1}-1) \end{aligned}$$

$\text{e}^{-0,1}\approx 0,90$, donc :

• $1-\text{e}^{-0,1} \approx 0,10 > 0$,
• $\text{e}^{-0,1}-1\approx -0,10 < 0$.
• Et, pour tout entier naturel $n$, $\text{e}^{-0,1n} > 0$.
• Nous en déduisons le signe de $D_{n+1}-D_n$ :

$$\begin{aligned} D_{n+1}-D_n &= \overbrace{200\vphantom{\text e^{0,01}}}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{>0}}}\,\overbrace{\text{e}^{-0,1n}}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{>0}}} (\overbrace{1-\text{e}^{-0,1}}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{>0}}})(\overbrace {\text{e}^{-0,1}-1}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{<0}}}) \\ &< 0 \end{aligned}$$

• La suite $(D_n)$ est strictement décroissante.

Calculons maintenant la limite de la suite. Nous savons que $\lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}^{-0,1n}=0$.

• Donc, par produit des limites :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{n \to +\infty} D_n&=\lim\limits_{n \to +\infty} 200\,\text{e}^{-0,1n}(1- \text{e}^{-0,1} ) \\ &=0 \end{aligned}$$

Ces résultats signifient que :

• la température ne cessera de diminuer d’une minute à l’autre ;
• mais, au bout d’un certain temps, cette diminution sera infime.
• Ils étaient donc prévisibles dans notre contexte, puisque nous avions vu que la température d’une baguette diminuait au fil du temps et qu’elle tendait à se stabiliser à $25\,\degree \text{C}$.