Fiche de révision : Les suites numériques

Suite numérique

Une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $\mathbb N$, à valeurs dans $\mathbb R$ :

$\begin{aligned} u\ :\mathbb N&\rightarrow \mathbb R\\ n&\rightarrow u(n)\text{, aussi noté }u_n \end{aligned}$

• Pour tout entier naturel $n$, le nombre $u(n)$ est appelé terme de rang $n$ ou terme général de la suite. On note alors cette suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$, ou $(u_n)_{n\geq0}$, ou encore $(u_n)$.

Définir une suite

• Suite définie par une formule explicite $u_n=f(n)$
• Une suite est définie par une formule explicite lorsque $u_n$ s’exprime directement en fonction de $n$. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
• Une suite numérique $u_n$ définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées $(n\ ; u_n)$.
• Suite définie par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de :

• son premier terme ;
• une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

Sens de variation d’une suite

• Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\mathbb N$ :
• elle est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}\geq u_n$, et donc si et seulement si $u_{n+1}-u_n\geq0$ ;
• elle est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}\leq u_n$, et donc si et seulement si $u_{n+1}-u_n\leq0$ ;
• elle est constante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n$, et donc si et seulement si $u_{n+1}-u_n=0$.
• Soit $u$ une suite définie pour tout entier $n\geq p$ par $u_n=f(n)$, où $f$ est une fonction définie sur l’intervalle $[p\ ;\ +\infty[$. On peut donner sa variation de la façon suivante :
• si la fonction $f$ est croissante sur $[p\ ;\ +\infty[$, alors la suite $u$ est croissante à partir du rang $p$ ;
• si la fonction $f$ est décroissante sur $[p\ ; +\infty[$, alors la suite $u$ est décroissante à partir du rang $p$ ;
• Lorsqu’une suite est toujours croissante, ou alors toujours décroissante, on dit qu’elle est monotone.

Limite d’une suite

• Une suite numérique $(u_n)$ admet une limite réelle $l$ si tous les termes de la suite $(u_n)$ sont proches de $l$ à partir d’un certain rang.
• Elle est alors dite convergente.
• On note : $\lim\limits_{n\ \rightarrow\ +\infty}u_n=l$.
• Une suite numérique $(u_n)$ est divergente si elle n’est pas convergente.