Cours : Les suites numériques

Modes de génération d’une suite numérique et représentation graphique

Définition d’une suite numérique

Définition

Suite numérique :

Une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $\mathbb N$, à valeurs dans $\mathbb R$ :

$\begin{aligned} u:\mathbb N&\to\mathbb R \\ n&\mapsto u(n)\text{, aussi noté }u_n \end{aligned}$

Astuce

On peut lire la définition de la manière suivante : une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $\mathbb N$, à valeurs dans $\mathbb R$, qui à tout entier naturel $n$ associe le nombre réel « $u$ de $n$ », aussi noté « $u$ indice $n$ ».

À retenir

Pour tout entier naturel $n$, le nombre $u(n)$ est appelé terme de rang $n$ ou terme général de la suite. On note alors cette suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$, ou $(u_n)_{n\geq0}$, ou encore $(u_n)$.

Exemple :
La liste $5\ ; 10\ ; 15\ ; 20\ ; 25$… correspond à la suite $(u_n)$ telle que : $u_0=5\ ;\ u_1=10\ ;\ u_2=15\ ;\ u_3=20$…
On dit que $5$ est le terme de rang $0$ ; $10$ est le terme de rang $1$ ; $15$ est le terme de rang $2$…

Attention

La notation des suites doit être soignée : une notation approximative peut créer des confusions.

Suite définie par une formule explicite $u_n=f(n)$

Définition

Suite définie par une formule explicite :

Une suite est définie par une formule explicite lorsque $u_n$ s’exprime directement en fonction de $n$. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.

Exemple :
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\sqrt{2n+6}=f(n)$. Alors : $\begin{aligned}u_0&=\sqrt{2×0+6}=\sqrt6 \\ u_1&=\sqrt{2×1+6}=\sqrt8 \\ u_2&=\sqrt{2×2+6}=\sqrt{10} \\ …\\ u_{47}&=\sqrt{2×47+6}=\sqrt{100}=10\end{aligned}$

Définition

Suite définie par une formule explicite (suite) :

Une suite numérique $u_n$ définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées $(n\ ; u_n)$.

Suite définie par une formule explicite

La représentation graphique de la suite $u$ est formée des points $A_0,\ A_1,\ A_2$…

On peut constater que tous ces points sont sur la courbe représentative de la fonction $f$ puisque $u_n=f(n)$.

Le terme $u_k$ de la suite est l’ordonnée du point $A_k$ d’abscisse $k$.

Suite définie par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$

Définition

Suite définie par une relation de récurrence :

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de :

• son premier terme ;
• une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

Contrairement à une formule explicite, une relation de récurrence ne permet pas de calculer directement un terme de rang donné sans avoir calculé tous les termes qui le précèdent.

Exemple :
On considère la suite $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0&=-1,5 \\ u_{n+1}&=\sqrt{4u_n+8} \end{cases}$

Pour calculer $u_1$, on utilise la valeur de $u_0$, ainsi : $$\begin{aligned}u_1&=\sqrt{4u_0+8}\\&=\sqrt{4\times(-1,5)+8}\\&=\sqrt 2\end{aligned}$$

Pour calculer $u_2$, on utilise la valeur de $u_1$, ainsi :

$$\begin {aligned}u_2&=\sqrt{4{u_1}+8}\\&=\sqrt{4×\sqrt 2+8}\\&=\sqrt{4\sqrt 2+8}\end{aligned}$$

Représentation graphique d’une suite

• Pour représenter graphiquement une suite définie par une relation de récurrence, il faut commencer par tracer dans un repère la fonction $f$ concernée.

Ici, il s’agit de la fonction $f(x)=\sqrt{4x+8}$.

• Tracer également la droite $y=x$ qui permettra de reporter les termes de la suite sur l’axe des abscisses.

• Placer $u_0$ sur l’axe des abscisses.

$u_1 = f(u_0)$ ; $u_1$ est l’image de $u_0$ par la fonction $f$.

• Placer $u_1$ sur l’axe des abscisses.

Pour déterminer $u_2=f(u_1)$, il faut d’abord reporter $u_1$ sur l’axe des abscisses.
Pour cela, il faut utiliser la droite $y=x$.

• Placer les autres points.

$u_2=f(u_1)$ ; $u_2$ est l’image de $u_1$ par la fonction $f$.
Pour déterminer $u_3=f(u_2)$, il faut d’abord reporter $u_2$ sur l’axe des abscisses.
Pour cela, il faut utiliser la droite $y=x$.
Et ainsi de suite…

• À l’aide d’une calculatrice (Casio ou TI), il est possible de calculer le terme général d’une suite définie par récurrence.

Sens de variation d’une suite

Définition

Sens de variation d’une suite :

On dit qu’une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ est :

• croissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}\geq u_n$ ;
• décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}\leq u_n$ ;
• constante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n$.

Attention

Pour certaines suites, l’inégalité $u_{n+1}\geq u_n$ n’est vraie que pour $n\geq p$, où $p$ est un entier ; dans ce cas, on dit que $(u_n)$ n’est croissante qu’à partir du rang $p$.

À retenir

Lorsqu’une suite est toujours croissante, ou alors toujours décroissante, on dit qu’elle est monotone.

Suite croissante ou décroissante ?
Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs quelconques :

• si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n\geq0$, alors la suite $(u_n)$ est croissante ;
• si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n\leq0$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante ;
• si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=0$, alors la suite $(u_n)$ est constante.

Exemple :
Étudions des variations de la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ par $u_n=2-3n$.
Calculons $u_{n+1}-u_n$ :
$\begin{aligned} u_{n+1}-u_n&=\big(2-3(n+1)\big)-(2-3n) \\ &=(2-3n-3)-(2-3n) \\ &=2-3n-3-2+3n \\ & =-3 \end{aligned}$.
Ainsi $u_{n+1}-u_n<0$, donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

Lorsqu’une suite est définie par une formule explicite de la forme $u_n=f(n)$, il existe une autre méthode pour donner les variations de la suite. On utilise la propriété suivante :

Propriété

Soit $u$ une suite définie pour tout entier $n\geq p$ par $u_n=f(n)$, où $f$ est une fonction définie sur l’intervalle $\big[p\ ; +\infty\big[$.

• Si la fonction $f$ est croissante sur $\big[p\ ; +\infty\big[$, alors la suite $u$ est croissante à partir du rang $p$.
• Si la fonction $f$ est décroissante sur $\big[p\ ; +\infty\big[$, alors la suite $u$ est décroissante à partir du rang $p$.

• Il est possible de trouver le minimum d’une suite de $n$ réels à l’aide de la calculatrice (Casio ou TI).

Notion de limite d’une suite numérique

S’intéresser à la limite d’une suite $(u_n)$, c’est étudier le comportement des termes $u_n$ quand on donne à $n$ des valeurs entières aussi grandes que l’on veut, ce qui se dit aussi « quand $n$ tend vers $+\infty$ ».

Avant d’apprendre à calculer des limites en classe de terminale, on se contentera cette année d’approches intuitives et expérimentales.

Suite convergente

Définition

Suite convergente :

On dit qu’une suite numérique $(u_n)$ admet une limite réelle $l$ si tous les termes de la suite $(u_n)$ sont proches de $l$ à partir d’un certain rang.

On dit alors que la suite est convergente vers $l$.

Exemple 1 :
Soit la suite $u_n=\dfrac{1}n$ représentée ci-dessous :

Les valeurs de la suite semblent se rapprocher autant que l’on veut d’une valeur « limite » : $0$. On dit que $u$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, et on note : $\lim\limits_{n\ \rightarrow\ +\infty}u_n=0$.

• La suite $u$ converge vers $0$.

Exemple 2 :
Soit la suite $v_n=\dfrac{4n-5}{2n+3}$.
Nous pouvons utiliser un tableur pour voir l’évolution des valeurs de la suite :

Les valeurs de la suite semblent se rapprocher autant que l’on veut d’une valeur « limite » : $2$.

On dit que $v$ tend vers $2$ quand $n$ tend vers $+\infty$, et on note : $\lim\limits_{n\ \rightarrow\ +\infty }v_n=2$

• La suite $v_n$ converge vers $2$.

Suite divergente

Définition

Suite divergente :

On dit qu’une suite numérique $(u_n)$ est divergente si elle n’est pas convergente.

Exemple 1 :
Soit la suite $u_n=n^2$ représentée ci-dessous :

Les valeurs de la suite semblent devenir aussi grandes qu’on veut, et on note : $\lim\limits_{n\ \rightarrow\ +\infty}u_n=+\infty$.

Exemple 2 :
Soit la suite $v_n=3^n$ ; on peut utiliser un tableur pour voir l’évolution des valeurs de la suite :

Les valeurs prises par la suite semblent devenir aussi grandes que l’on veut, et on note : $\lim\limits_{n\ \rightarrow\ +\infty}v_n=+\infty$.

• La suite $v_n$ diverge.

Exemple 3 :
La suite $w_n=(-1)^n$ est représentée ci-après :

• La suite $w$ diverge (puisqu’elle ne converge pas), mais n’admet pas de limite.

Attention

Certaines suites, comme $(w_n)$ dans l’exemple précédent, n’ont pas de limite. On voit clairement que, si $n$ augmente, alors $w_n=1$ pour $n$ pair, et $w_n=-1$ pour $n$ impair.