Cours : La forme de la Terre

Les dimensions de la Terre : deux méthodes

L’idée même de rotondité de la Terre (c’est-à-dire son caractère sphérique) date de l’Antiquité, entre le VI^e siècle et le IV^e siècle avant J.-C.
C’est notamment Aristote qui a utilisé l’observation d’éclipses de Lune pour le démontrer.

Une fois la rotondité de la Terre établie, il appartenait alors aux savants d’en déterminer les dimensions.
Ceci a été possible grâce aux connaissances en trigonométrie (science qui associe les mesures d’angles et de distances dans un triangle). Les principes de cette science sont connus depuis plus de 4 000 ans en Égypte antique et Mésopotamie et ont ainsi pu être exploités par les astronomes.

Méthode d’Ératosthène

Au III^e siècle avant J.-C, Ératosthène, mathématicien, géographe et astronome de l’Antiquité, s’est servi de l’ombre portée de deux objets au même instant dans deux villes différentes.
Il attendit que le Soleil éclaire le fond d’un puit dans la ville de Syène (au sud de l’Égypte, nommée Assouan de nos jours) et, au même moment dans ville d’Alexandrie (éloignée de $800\,\text{km}$ environ), on mesura l’ombre portée d’un obélisque de hauteur connue pour déterminer l’angle entre les rayons lumineux et la verticale et, par la suite, la circonférence de la terre.

Calcul de l’angle $\widehat a$ entre les rayons solaires et l’obélisque :

Dans un triangle rectangle, on sait que :

$$\tan \widehat a=\dfrac{\text{longueur du côté opposé à l’angle }\widehat {a}}{\text{longueur du côté adjacent à l’angle }\widehat a}$$

Ainsi, l’angle entre l’obélisque et son ombre étant droit :

$$\tan \widehat a=\dfrac{\text{longueur de l’ombre portée de l’obélisque}}{\text{hauteur de l’obélisque}}$$

Après calcul, Ératosthène a trouvé $\widehat a = 7,2\degree$.

Suivant la règle des angles alternes-internes (les rayons du Soleil atteignant Alexandrie et Syène étant parallèles), cet angle $\widehat a$ se retrouve au centre de la Terre entre la verticale passant par le puit et celle passant par l’obélisque.

À la surface de la Terre, la longueur de l’arc formé par cet angle $\widehat a$ est égale à la distance séparant ces deux villes, soit $800\,\text{km}$.
Par un calcul de proportionnalité, on va pouvoir passer de l’angle de $7,2\degree$ à un angle de $360\degree$ (tour de la Terre).

À retenir

Ainsi, plus de deux siècles avant J.-C., la circonférence de la Terre, qui est donc d’environ $40\,000\,\text{km}$, est connue avec une bonne précision grâce à la méthode d’Ératosthène.

Attention

Pour que cette méthode fonctionne, il faut que les deux villes se trouvent sur le même méridien (heure solaire synchrone), ce qui est le cas ici.

Définition

Méridien :

On appelle méridien un cercle fictif passant par les deux pôles (géographiques) et dont le plan est perpendiculaire à celui de l’équateur.

Méthode de triangulation plane

Grâce aux progrès des connaissances en trigonométrie effectués en Perse au XI^e siècle et XIII^e siècle et avec l’invention du goniomètre en 1790, permettant de mesurer un angle entre deux points relativement éloignés (deux monuments par exemple), l’idée de la mesure de distances par triangulation se répand petit à petit et permet de vérifier les dimensions de la Terre.

À retenir

Le principe de la triangulation plane est assez simple : pour remplacer la mesure directe de la longueur d’un arc difficile à faire, on procède à une mesure indirecte à l’aide d’une succession de triangles adjacents situés le long de l’arc à mesurer.

Dans un triangle, si on connait la mesure de deux angles et la longueur d’un des côtés alors, grâce à des formules trigonométriques simples, on peut connaitre la longueur des deux autres côtés.

Exemple

Voyons donc comment déterminer la longueur de l’arc $EF$ à la surface d’une sphère :

• On vise deux repères visuels $A$ et $B$ à partir de $E$ et on mesure l’angle $\widehat{AEB}$.
• On mesure les angles $\widehat{EAB}$ et $\widehat{EBA}$.
• On se place en $A$ et on vise deux nouveau repères $D$ et $C$.
• On mesure les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{DAC}$.
• On se place en $C$.
• On mesure les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ACD}$.
• On vise le point $F$ et on mesure l’angle $\widehat{FCD}$.
• On se place en $F$ et on mesure l’angle $\widehat{DFC}$.

Cela donne la figure suivante (approximation de l’arc vu de face) :

Il s’agit ici d’une méthode expérimentale, les repères visés sont donc des « objets » réels identifiables dans le paysage.

Rappel

• La somme des angles dans un triangle est égale à $180\degree$.
• Formule des sinus (triangle $EAB$) :

$\dfrac{AB}{sin\,\widehat E}=\dfrac{AE}{sin\,\widehat B}=\dfrac{BE}{sin\,\widehat A}$

Dans notre cas, la longueur de l’arc $EF$ vaut :

$EF = EI + IJ + JK + KF$

Sachant que les points $E$ et $F$ se situent sur le même méridien, à partir du point $E$ la direction du point $F$ est connue. Pour le triangle $EIA$, il est également possible de connaître l’angle $\widehat{AEI}$ (mesure ou calcul) et donc, grâce à la formule de sinus de calculer la longueur $EI$.

En appliquant la formule des sinus dans le triangle $EIA$, on obtient :

$\dfrac{EI}{sin\,\widehat A}=\dfrac{AI}{sin\,\widehat E}=\dfrac{AE}{sin\,\widehat I}$

Soit $EI=\dfrac{AE}{sin\,\widehat I}\times \text{sin}\widehat A$

La distance $AE$ est la seule distance mesurée, elle est donc connue.

Dans le triangle $EAI$, on a $\widehat A+\widehat E+\widehat I=180\degree$ soit $\widehat I=180\degree-\widehat A-\widehat E$

Les angles $\widehat A$ et $\widehat E$ ont été mesuré pour $\widehat A$ et calculé pour $\widehat E$, donc on connait l’angle $\widehat I$. Le calcul de la distance $EI$ est alors possible.
En utilisant la même méthode pour les autres triangles on pourra calculer les longueurs $IJ$, $JK$ et $KF$ et, finalement, par addition, on trouvera la longueur de l’arc $EF$.

Entre 1792 et 1793, c’est par cette méthode que les deux astronomes et mathématiciens français Delambre et Méchain ont pu déterminer la longueur du méridien entre Dunkerque et Barcelone en mesurant une seule longueur (côté d’un triangle) et un très grand nombre d’angles. La mesure d’angles entre des repères définis est bien plus précise et aisée que la mesure de longueurs importante compte tenu du relief et des obstacles notamment.

La méthode de triangulation plane décrite ci-dessus n’est normalement pas adaptée pour des mesures de distances sur une sphère.
Toutefois, sur des distances courtes (côté d’un triangle), on peut négliger la courbure de la Terre. Cette méthode est donc une méthode approximative mais elle permet, grâce aux triangles de petites dimensions, d’obtenir la longueur d’un arc avec une bonne précision.

Positionnement et calcul de distances

La circonférence de la Terre constitue ainsi une connaissance ancienne.
Cependant, avec l’essor du commerce mondial, il a rapidement fallu mettre au point un système de positionnement à la surface du globe.

Les coordonnées angulaires

En mathématiques, pour donner la position d’un point $A$ dans le plan, on donne ses coordonnées $A (x; y)$.
Pour donner une position d’un point à la surface de la Terre, on va utiliser deux coordonnées que l’on appelle la latitude et la longitude.

Définition

Longitude :

Angle entre le méridien de référence (Greenwich) et le méridien passant par le point étudié. Les valeurs des angles vont de $0\degree$ à $-180\degree$ vers l’ouest et de $0\degree$ à $+180\degree$ vers l’est.

Définition

Latitude :

Angle entre le plan de l’équateur et la perpendiculaire au sol au point étudié. Les valeurs des angles vont de $0\degree$ à l’équateur à $+90\degree$ vers le nord ou $-90\degree$ vers le sud.

• Tous les points ayant même longitude appartiennent à un même méridien.
  Tous les points ayant même latitude appartiennent au même parallèle.

À retenir

Pour localiser un point à la surface du globe, il faut donc donner le méridien auquel il appartient (longitude) et le parallèle sur lequel il se trouve (latitude).
On obtient ainsi deux cercles qui se croisent en ce point.

Attention

Ces deux cercles se croisent en réalité en deux points mais comme le méridien de Greenwich sert de référence pour la longitude, un seul des deux points aura les bonnes coordonnées.

Calculs de distances

Attention

Pour simplifier les calculs, nous modéliserons la Terre par une sphère – ce qu’elle n’est pas parfaitement – de rayon : $R\approx6\,371\ \text{km}$, qui est le rayon moyen de la Terre.

• Distance entre deux points quelconques à la surface de la Terre

Le calcul de la distance la plus courte séparant deux points quelconques à la surface du globe, appelée orthodromie, faisant appel à des notions qui ne sont pas au programme, nous nous contenterons d’admettre qu’elle correspond à la longueur de l’arc du grand cercle passant par ces deux points.

Rappel

Le grand cercle d’une sphère est le cercle tracé à sa surface et qui a le même diamètre qu’elle.

• Distance entre deux points à la surface de la Terre appartenant au même méridien

Si nous considérons deux points appartenant à un même méridien (et donc de même longitude) et que nous connaissons leur latitude respective, la distance la plus courte entre ces deux points est l’arc du grand cercle les reliant.

Soit le point $A$ de latitude connue $\alpha_A$ et le point $B$ de latitude connue $\alpha_B$, les deux points ayant la même longitude connue.
Soit $d$ la distance entre les points $A$ et $B$ (en $\text{km}$) et $\alpha$ l’angle entre les latitudes de $A$ et $B$ (en $\degree$).

Pour déterminer la longueur de l’arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$, on va utiliser une simple notion de proportionnalité.
En effet la longueur de cet arc correspond à une partie du périmètre du grand cercle passant par $A$ et $B$.

$R$ est le rayon de la Terre : $\text R=6\,371\,\text{km}$

Soit $d=\dfrac{2\pi\text R}{360}\times\alpha=\dfrac{\pi\text R}{180}\times\alpha$

Astuce

• Si les deux points sont situés dans le même hémisphère, alors : $\alpha=\vert\alpha_A-\alpha_B\vert$.
• Si les deux points sont situés dans des hémisphères différents, alors : $\alpha=\alpha_A+\alpha_B$.

Exemple

Estimons la distance $d$ entre Montpellier et Troyes :

• nous considérons que les deux villes sont sur le même méridien : $4\degree\ \text{est}$ ;
• la latitude de Montpellier est : $\alpha_M\approx43,6\degree\ \text{nord}$ ;
• la latitude de Troyes est : $\alpha_T\approx48,3\degree\ \text{nord}$.
• Calculons $\alpha$ :

$$\begin{aligned} \alpha&=\vert\alpha_M-\alpha_T\vert \\ &=\vert43,6-48,3\vert \\ &=\vert-4,7\vert \\ &=4,7\degree \end{aligned}$$

• Calculons maintenant $d$, que nous arrondirons au kilomètre près :

$$\begin{aligned} d&=\dfrac{\pi R}{180}\times\alpha \\ &=\dfrac{6\,371\pi}{180}\times4,7 \\ &\approx 523 \end{aligned}$$

• La distance entre Montpellier et Troyes est d’environ $523\ \text{km}$.

• Distance entre deux points à la surface de la Terre appartenant au même parallèle

Ici, pour calculer la distance entre deux points $A$ et $B$, de même latitude $\alpha$, nous nous contenterons de calculer la longueur de l’arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ du parallèle, qui n’est pas un grand cercle.

Pour déterminer le périmètre de ce parallèle, on va calculer le rayon de celui-ci en fonction de celui de la Terre.

Grace à la notion d’angles alternes-internes et au théorème de Pythagore, on détermine que le rayon d’un parallèle vaut $r=R_T\text{cos}\,\alpha$. $\alpha$ représente l’angle en degré entre l’équateur et le parallèle étudié et $R_T$ le rayon de la Terre.

Le périmètre de ce parallèle est donc $p=2\pi(R_T\text{cos}\,\alpha)$

Soit le point $A$ de longitude connue $\beta_A$ et le point $B$ de longitude connue $\beta_B$, les deux points ayant la même latitude connue $\alpha$.
Soit $d$ la distance entre les points $A$ et $B$ (en $\text{km}$) et $\beta$ l’angle entre les longitudes de $A$ et $B$ (en $\degree$).

De la même manière que précédemment, un simple calcul de proportionnalité va nous permettre de calculer la longueur $d$ de l’arc $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$.

Nous cherchons à calculer la distance $d$ entre $A$ et $B$, soit la longueur de l’arc du parallèle qui les sépare.

Astuce

Si l’angle $\beta$ entre les longitudes des deux points considérés est supérieur à $180\degree$, il faut alors considérer $\beta'=360-\beta$.

Exemple

Estimons la distance $d$ entre New York et Naples :

• nous considérons que les deux villes sont sur le même parallèle : $\alpha=40\degree\ \text{nord}$ ;
• la longitude de New York est : $\beta_{NY}=74\degree\ \text{ouest}$ ;
• la longitude de Naples est : $\beta_N=14\degree\ \text{est}$.
• Calculons $\beta$, les deux villes étant de part et d’autre du méridien de Greenwich :

$$\begin{aligned} \beta&=\beta_{NY}+\beta_N \\ &=74+14 \\ &=88\degree \end{aligned}$$

• Calculons maintenant $d$, que nous arrondirons au kilomètre près :

$$\begin{aligned} d&=\dfrac{2\pi R_T\cos(\alpha)}{360}\times\beta \\ &=\dfrac{2\pi\times 6\,371\ cos(40\degree)}{360}\times88\degree \\ &\approx 7\,496 \end{aligned}$$

• La distance entre New York et Naples est d’environ $7\,496\ \text{km}$.