Homothéties
Rappels
Rappels
- les longueurs ;
- les angles (au sens près pour la symétrie axiale) ;
- les aires.
- Par une symétrie centrale ou une translation, l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
Transformation par homothétie
Transformation par homothétie
- Homothétie de rapport positif
- Le point $M'$ est l'image du point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ positif si :
- $M'$ appartient à $[OM)$ (soit : $M, M'$ et $O$ alignés et $M$ et $M'$ du même côté par rapport à $O$)
- et $OM' = k \times OM$
- Homothétie de rapport négatif
- Le point $M'$ est l'image du point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ négatif si :
- $M'$ appartient à $[MO)$ (soit : $M, M'$ et $O$ alignés et $M$ et $M'$ de part et d'autre de $O$)
- et $OM' = -\ k \times OM$
Valeur de $k$ | Effet de l'homothétie |
$k< -1$ | « Sens contraire » et agrandissement |
$k=-1$ | Symétrie centrale |
$-1 < k < 0$ | « Sens contraire » et réduction |
$k=0$ | L'image est réduite au point $O$ |
$0 < k < 1$ | Réduction |
$k=1$ | Pas de transformation |
$1 < k$ | Agrandissement |
Pour construire l'image $F'$ d'une figure $F$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :
- on construit l'image d'un point $M$ de la figure en respectant bien le signe du rapport $k$ :
- si $k$ est positif (image dans le même sens), on reporte sur la demi-droite $[OM)$ la distance du centre $O$ au point $M$, à partir du centre $O$, autant de fois que la valeur $k$. On obtient le point image $M'$ ;
- si $k$ est négatif (image dans le sens contraire), on reporte sur la demi-droite $[MO)$ la distance du point $M$ au centre $O$, à partir du centre $O$, autant de fois que la valeur $-k$. On obtient le point image $M'$ ;
- on répète cette étape pour tous les points de $F$ ;
- on relie les points images et on obtient $F'$ image de $F$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.
- Par une homothétie de rapport $k$ :
- les angles sont conservés ;
- les longueurs sont multipliées par $k$ (ou $-k$ si $k$ négatif) ;
- les aires sont multipliées par $k^2$ ;
- l'image d'une droite (d'un segment) est une droite (un segment) qui lui est parallèle.