Cours : Homothéties

• Les points $O$, $A$ et $A'$ sont alignés, comme $O$, $B$ et $B'$, ainsi que $O$, $C$ et $C'$ et $O$, $D$ et $D'$.
• Les points $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ sont du même côté par rapport à $O$ que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ (même sens, rapport positif).
• De plus $OA' =\dfrac14 \times OA$, $OB' =\dfrac14 \times OB$, $OC' = \dfrac14 \times OC$ et $OD' =\dfrac14\times OD$ (réduction).
• Le rectangle $A'B'C'D'$ est l'image du rectangle $ABCD$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac14$.
• $A'B'C'D'$ est une réduction de $ABCD$ de rapport $\dfrac14$, dans le même sens que $ABCD$.

• Les points $O$, $A$ et $A'$ sont alignés, ainsi que les points $O$, $B$ et $B'$ et les points $O$, $C$ et $C'$.
• Les points $A'$, $B'$ et $C'$ et les points $A$, $B$ et $C$ sont de part et d'autre du point $O$ (sens contraire, rapport négatif).
• De plus $OA' = 2 \times OA$, $OB' = 2 \times OB$ et $OC' = 2 \times OC$ (agrandissement).
• Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$
• $A'B'C'$ est un agrandissement de $ABC$ de rapport $2$, dans le sens contraire de celui de $ABC$

Dans cet exemple, le rapport est positif, les points images $A', B', C'$ et $D'$ appartiennent aux demi-droites passant respectivement par les points $A, B, C$ et $D$ et dont $O$ est l'origine.

Dans cet exemple, le rapport est négatif, les points images $A', B'$ et $C'$ appartiennent aux demi-droites passant par $O$ et dont les points $A, B$ et $C$ sont respectivement l'origine.

Le rectangle $A'B'C'D'$ est l'image du rectangle $ABCD$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac14$
$A'B'C'D'$ est donc une réduction de $ABCD$ de rapport $\dfrac14$

• Les longueurs sont multipliées par $\dfrac14$ ; on a par exemple :
  $A'D' = \dfrac14 \times AD = \dfrac14 \times 4 = 1\ \text{cm}$
• L'aire du rectangle est multipliée par $\left( \dfrac14 \right)^2$
  On a $A_{A'B'C'D'}=\left( \dfrac14 \right)^2\times A_{ABCD}= \dfrac{1}{16} \times 8=\dfrac12\ \text{cm}^2$
• Les angles sont conservés ; tous les angles restent des angles droits.
• Chaque segment a pour image un segment qui lui est parallèle ; par exemple $[A'B']//[AB]$.

Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$.
$A'B'C'$ est donc un agrandissement de $ABC$ de rapport $2$, dans le sens contraire de celui de $ABC$.

• Les longueurs sont multipliées par $-(-2)$ ; on a par exemple $B'C' = 2 \times BC$ avec $BC = 3,16\ \text{cm}$ et $B'C' = 6,32\ \text{cm}$
• L'aire du triangle est multipliée par $(-2)^2$ ; on a $A_{A'B'C'}=4 \times A_{ABC}$ avec $A_{ABC}=3,5\ \text{cm}^2$ et $A_{ABC}=14\ \text{cm}^2$
• Les angles sont conservés ; on a par exemple $\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}$.
• Chaque segment a pour image un segment qui lui est parallèle ; entre autres $[A'C']//[AC]$.

Sur la figure ci-contre, on passe du triangle $ABC$ au triangle $ADE$ par une homothétie.

• Déterminer le centre et le rapport de cette homothétie.
• Les points $A, C$ et $E$ sont alignés ainsi que les points $A, B$ et $D$. Dans cette homothétie par laquelle $ABC$ devient $ADE$, $A$ a pour image lui-même, $B$ a pour image $D$ et $C$ a pour image $E$. C'est donc l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k$ tel que $AD = k \times AB$ d'où $k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{7,5}{3} = 2,5$
• Que peut-on dire des droites $(BC)$ et $(DE)$ ?
• Dans une homothétie, l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle, or l'image de $(BC)$ est $(DE)$ d'où $(BC) // (DE)$
• Calculer les longueurs $AE$ et $DE$
• Par définition : $AE = k \times AC$ d'où $AE = 2,5 \times 5 = 12,5\ \text{cm}$. Dans une homothétie, les longueurs sont multipliées par le rapport $k$ d'où : $DE = k \times BC = 2,5 \times 3,16 = 7,9\ \text{cm}$

Remarque :
Dans cette configuration nous avons :
$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}=k$ et $(BC)//(DE)$

Nous étudierons plus précisément cette configuration particulière dans l’étude du théorème de Thalès et de sa réciproque.