Fractions égales
Introduction :
La notion de quotients égaux a été abordée en 5e pour apprendre à simplifier des fractions. En 4e, la notion de fractions égales est importante car elle a de nombreuses applications dans les calculs et la résolution de problèmes qui mettent en œuvre les fractions.
Nous commencerons ce cours par un rappel de la notion et apprendrons à déterminer des fractions égales et à démontrer que des fractions sont égales. Nous parlerons ensuite des nombreuses applications de cette notion en terminant par la comparaison de fractions que nous élargirons un peu.
Fractions égales
Fractions égales
Propriété
Deux fractions sont égales quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels.
Autrement dit, la valeur d'une fraction ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Ainsi, pour tous nombres entiers $a$, $b$ et $k$, avec $b$ et $k$ non nuls : $\dfrac ab = \dfrac{a \times k}{b \times k}$ et $\dfrac ab = \dfrac{a \div k}{b \div k}$.
Exemple
$\dfrac{1}{2}= \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4}$ donc $\dfrac{1}{2}= \dfrac{2}{4}$
$\dfrac{-4}{5}= \dfrac{-4 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{-12}{15}$ donc $\dfrac{-4}{5}= \dfrac{-12}{15}$
$\dfrac{6}{-18} = \dfrac{6 \div 6}{-18 \div 6} = \dfrac{1}{-3}$ donc $\dfrac{6}{-18} = \dfrac{1}{-3}$
Trouver des fractions égales
Trouver des fractions égales
MÉTHODOLOGIE
Pour trouver deux fractions égales :
- s'il n'y a pas d'indication précise, il suffit de prendre une fraction puis de multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par le nombre de notre choix ;
- si le numérateur ou le dénominateur de la fraction égale est donné, il s'agira de trouver le nombre $k$ par lequel le numérateur (ou le dénominateur) a été multiplié ou divisé et d'appliquer la même opération au dénominateur (ou au numérateur).
Exemple
- Trouver deux fractions égales à $\frac{-18}{15}$.
$18$ et $15$ sont divisibles par $\red{3}$.
On peut écrire $\dfrac{-18}{15} = \dfrac{-18\div \red{3}}{15\div \red{3}} = \dfrac{-6}{5}$
Pour trouver une deuxième fraction égale, on peut par exemple multiplier le numérateur et le dénominateur par $\red{2}$ : $\dfrac{-18}{15} = \dfrac{-18\times \red{2}}{15\times \red{2}} = \dfrac{-36}{30}$
Donc $\dfrac{-6}{5}$ et $\dfrac{-36}{30}$ sont deux fractions égales à $\dfrac{-18}{15}$.
- On a : $\frac{-18}{15} =\frac{-6}{5}= \frac{-36}{30}$
- Déterminer le nombre manquant à l'égalité $\frac{11}{-7} = \frac{…}{28}$.
$28 = -7 \times (-4)$ ; le dénominateur a ainsi été multiplié par $-4$.
Pour obtenir une fraction égale, il faut multiplier le numérateur par $-4$ ce qui donne $11 \times (-4) = -44$
Donc $\dfrac{11}{-7} = \dfrac{11 \times (-4)}{-7 \times (-4)}=\dfrac{-44}{28}$
- $-44$ est le nombre manquant à l'égalité.
- Trouver la fraction égale à $\frac{13}{8}$ dont le dénominateur est $4$.
$4 = 8 \div 2$ ; le dénominateur a ainsi été divisé par $2$.
Pour obtenir une fraction égale, il faudrait donc diviser le numérateur par $2$, or $13$ n'est pas divisible par $2$.
- Il n'y a donc pas de fraction égale à $\frac{13}{8}$ dont le dénominateur est $4$.
Démontrer que deux fractions sont égales
Démontrer que deux fractions sont égales
MÉTHODOLOGIE
Pour démontrer que deux fractions sont égales, il suffira de montrer que l'une est obtenue en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur de l'autre par un même nombre.
Exemple
- Démontrer que $\frac{-7}{4}$ et $\frac{-21}{12}$ sont des fractions égales.
$-21$ et $12$ sont divisibles par $3$ ; on a $-21\div 3= -7$ et $12\div 3=4$ d'où $\frac{-21 \div 3}{12 \div 3}= \frac{-7}{4}$
$\frac{-7}{4}$ est obtenu en divisant le numérateur et le dénominateur de $\frac{-21}{12}$ par $3$.
- On peut conclure que $\frac{-7}{4}$ et $\frac{-21}{12}$ sont des fractions égales. On a $\frac{-7}{4}= \frac{-21}{12}$.
- Les fractions $\frac 54$ et $\frac{15}{8}$ sont-elles égales ?
$15 = 5 \times 3$ ; le numérateur est multiplié par $3$.
$8 = 4 \times 2$ ; le dénominateur est multiplié par $2$.
Le numérateur et le dénominateur ne sont pas multipliés par le même nombre.
- On peut conclure que $\frac 54$ et $\frac{15}{8}$ ne sont pas des fractions égales. On a $\frac 54 \neq \frac{15}{8}$.
Astuce
Pour démontrer que deux fractions sont égales, on peut également utiliser l'égalité des produits en croix.
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres avec $b$ et $d$ non nuls.
- Si $\frac ab = \frac cd$ alors $a \times d = c \times b$.
- Si $a \times d = c \times b$ alors $\frac ab = \frac cd$.
Exemple
Démontrer que $\frac{-5}{4}$ et $\frac{25}{-20}$ sont des fractions égales.
$-5 \times (-20) = 100$ et $25 \times 4 = 100$ ; les produits en croix sont égaux donc les fractions sont égales.
- $\frac{-5}{4} = \frac{25}{-20}$
Applications
Applications
Simplifier une fraction
Simplifier une fraction
Rappel
Simplifier une fraction, c'est lui trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Dans le cours suivant, sur les opérations entre nombres rationnels, nous verrons notamment combien ce travail de simplification est important pour rendre les calculs plus rapides et plus sûrs.
MÉTHODOLOGIE
Soient deux entiers $a$ et $b$ avec $b$ non nul.
Pour simplifier la fraction $\frac ab$, il s'agira de trouver, si possible, un entier $k$ non nul tel que $a$ et $b$ soient divisibles par $k$.
Une simplification de $\frac ab$ sera alors $\frac{a\div k}{b\div k}$.
Rappel
Cette méthodologie nécessite un rappel des critères de divisibilité :
- un entier est divisible par $2$ s'il se termine par un chiffre pair ;
- un entier est divisible par $3$ si la somme des chiffres qui le composent est dans la table de $3$ ;
- un entier est divisible par $4$ si les deux derniers chiffres qui le composent forment un nombre qui est dans la table de $4$ ;
- un entier est divisible par $5$ s'il se termine par $0$ ou $5$ ;
- un entier est divisible par $9$ si la somme des chiffres qui le composent est dans la table de $9$ ;
- un entier est divisible par $10$ s'il se termine par $0$.
Exemple
Simplifier la fraction $-\frac{48}{27}$.
$48$ et $27$ sont divisibles par $3$ ; on peut écrire $-\frac{48}{27} = -\frac{48 \div 3}{27 \div 3}=-\frac{16}{9}$
- Donc $-\frac{48}{27} = -\frac{16}{9}$
Une autre formulation est possible en utilisant la propriété des fractions égales dans l'autre sens.
Exemple
$48$ et $27$ appartiennent à la table de $3$ ; on a $48 = 16 \times 3$ et $27 = 9 \times 3$ donc $-\frac{48}{27}=-\frac{16 \times 3}{9 \times 3}$
Or la propriété des fractions égales nous permet d'écrire $-\frac{16 \times 3}{9 \times 3} = -\frac{16}{9}$ donc $-\frac{48}{27}=-\frac{16 \times 3}{9 \times 3}= -\frac{16}{9}$
La fraction $-\frac{48}{27}$ a bien été simplifiée par $3$. Pour visualiser cette simplification, on peut barrer le « $\times 3$ » du numérateur et du dénominateur :
$$-\dfrac{48}{27}=-\dfrac{16\ \xcancel{\red{\times\ 3}}}{9\ \xcancel{\red{\times\ 3}}}= -\dfrac{16}{9}$$
- Il ne reste plus que $-\frac{16}{9}$.
Cette technique est celle utilisée pour simplifier certains calculs comme des multiplications ou des divisions d'écritures fractionnaires ; on décompose le numérateur et le dénominateur pour mettre en évidence des facteurs communs puis on simplifie.
Exemple
Simplifier $\frac{1920}{1440}$ de façon à ce que le numérateur et dénominateur soient les plus petits possible.
Rapidement, on peut établir que : $$\begin{array}{ccccccccccccc}&\scriptsize \red {{\div 10}}&&\scriptsize \red {{\div 2}}&&\scriptsize \red {{\div 2}}&&\scriptsize \red {{\div 2}}&&\scriptsize \red {{\div 2}}&&\scriptsize \red {{\div 3}}\\ &\red {\curvearrowright}&&\red {\curvearrowright}&&\red {\curvearrowright}&&\red {\curvearrowright}&&\red {\curvearrowright}&&\red {\curvearrowright}\\ \dfrac{1920}{1440}&=&\dfrac{192}{144} &=& \dfrac{96}{72} &=& \dfrac{48}{36} &=& \dfrac{24}{18} &=& \dfrac{12}{9} &=& \dfrac 43\end{array}$$
On ne peut pas diviser $4$ et $3$ par un même nombre.
- La forme la plus simplifiée de $\frac{1920}{1440}$ est $\frac 43$.
Calculer astucieusement
Calculer astucieusement
Exemple
Calculer astucieusement la fraction $\frac{12}{25}$.
On remarque que $25 \green{\times 4} = 100$, donc en multipliant $12$ par $\green{4}$ on obtiendra une fraction égale plus simple à calculer.
$12 \green{\times 4} = 48$ donc on peut écrire $\dfrac{12}{25}= \dfrac{12 \green{\times 4}}{25 \green{\times 4}}=\dfrac{48}{100} = 0,48$
- $0,48$ est le résultat attendu.
Diviser par un nombre décimal
Diviser par un nombre décimal
MÉTHODOLOGIE
Pour effectuer une division par un nombre décimal, on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre de façon à ce que le dénominateur soit un nombre entier.
Exemple
Calculer $7,82 \div 3,4$
L'écriture fractionnaire de ce quotient est $\frac{7,82}{3,4}$
Or $\frac{7,82}{3,4}= \frac{7,82\times 10}{3,4 \times 10}=\frac{78,2}{34}$
Ainsi $7,82 \div 3,4 = 78,2 \div 34$, et nous savons poser cette division :
- On obtient $7,82 \div 3,4 = 78,2 \div 34=2,3$
Mettre des fractions au même dénominateur
Mettre des fractions au même dénominateur
Pour additionner ou soustraire des fractions, comme nous le verrons dans le cours suivant, il faut que ces dernières soient au même dénominateur. Mettre des fractions au même dénominateur est donc très souvent nécessaire.
MÉTHODOLOGIE
Pour mettre des fractions au même dénominateur, on doit rechercher le plus petit multiple commun aux dénominateurs de départ.
Exemple
- Mettre au mettre dénominateur les fractions $\frac{-8}{3}$ et $\frac{17}{12}$.
On remarque que $12 = 3 \times 4$.
En transformant $\frac{-8}{3}$ en $\frac{-8 \times 4}{3 \times 4} = \frac{-32}{12}$, les deux fractions sont au même dénominateur.
- Mettre au mettre dénominateur les fractions $\frac{7}{-18}$ et $\frac{1}{12}$.
On remarque que $-18 = -2 \times 3 \times 3$ et $12 = 2 \times 2 \times 3$.
En multipliant $-18$ par $-2$ et $12$ par $3$ on obtiendra le même dénominateur.
Ainsi :
$\frac{7}{-18} = \frac{7\times(-2)}{-18\times (-2)} = \frac{-14}{36}$ et $\frac{1}{12} = \frac{1\times 3}{12\times 3} = \frac{3}{36}$
Cette méthode permet également de comparer des fractions lorsqu'elles ne sont pas au même dénominateur.
Comparer des fractions
Comparer des fractions
Rappel
- Si deux nombres sont de signe opposé, le plus grand est toujours le nombre positif.
- Si deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
- Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
Astuce
Les problèmes de comparaison ne se posent que si les nombres ont le même signe. Si ce n'est pas le cas, on suit tout simplement la première règle qui permet de conclure immédiatement : le plus grand sera toujours le nombre positif.
Propriété
Si deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.
Autrement dit, soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers avec $c$ positif non nul :
si $a < b$ alors $\frac ac < \frac bc$.
Exemple
- Comparer $\frac{5}{-6}$ et $\frac{-7}{6}$.
Les fractions, mises au même dénominateur positif, deviennent$\frac{-5}{6}$ et $\frac{-7}{6}$.
$-7 < -5$ donc $\frac{-7}{6} <\frac{-5}{6}$ d'où $\frac{-7}{6} <\frac{5}{-6}$
- Comparer $\frac{11}{6}$ et $\frac{13}{7}$.
Le dénominateur commun de ces deux fractions est $6 \times 7 = 42$
$\frac{11}{6} = \frac{11\times 7}{6\times 7}= \frac{77}{42}$ et $\frac{13}{7}=\frac{13\times 6}{7 \times 6}= \frac{78}{42}$
$77 < 78$ donc $ \frac{77}{42} < \frac{78}{42}$ d'où $\frac{11}{6} < \frac{13}{7}$
Astuce
Cette méthode de comparaison n'est pas la seule. On peut aussi mettre les fractions au même numérateur ou les comparer à l'unité (mais aussi chercher leur écriture décimale, les positionner sur une droite graduée, etc.).
Fractions de même numérateur
Propriété
Si deux fractions ont le même numérateur positif, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
Autrement dit : soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers avec $c$ positif et $a$ et $b$ non nuls, si $a < b$ alors $\frac ca > \frac cb$.
Exemple
Comparer $\frac{-17}{23}$ et $\frac{17}{-49}$.
Les fractions, mises au même numérateur positif, deviennent$\frac{17}{-23}$ et $\frac{17}{-49}$.
On a $-23 > - 49$ donc $\frac{17}{-23} < \frac{17}{-49}$ d'où $\frac{-17}{23} < \frac{17}{-49}$
Comparaison à l'unité
Soit une fraction dont le dénominateur et le numérateur sont positifs.
- Si son numérateur est plus grand que son dénominateur, alors la fraction est supérieure à $1$.
- Si son numérateur est plus petit que son dénominateur, alors la fraction est inférieure à $1$.
- Si son numérateur est égal à son dénominateur, alors la fraction est égale à $1$.
Autrement dit : soient $a$ et $b$ deux entiers positifs avec $b$ non nul :
- si $a > b$ alors $\frac ab > 1$ ;
- si $a < b$ alors $\frac ab < 1$ ;
- si $a = b$ alors $\frac ab = 1$.
Exemple
Comparer $\frac{5}{-4}$ et $\frac{-2}{3}$.
Sachant que des nombres négatifs sont rangés dans le sens inverse de leurs opposés, comparons d'abord les fractions positives $\frac 54$ et $\frac 23$ par rapport à $1$.
$5 > 4$ donc $\frac 54 > 1$ et $2 < 3$ donc $\frac 23 < 1$.
- On peut écrire $\frac 23 < 1 < \frac 54$ d'où $\frac 23 < \frac 54$ donc $\frac{-2}{3} > \frac{-5}{4}$
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons consolidé la notion de fractions égales, ce qui nous permettra d'aborder les calculs et les problèmes faisant intervenir des fractions sereinement (simplification, additions, soustractions, comparaisons, calculs astucieux…).