Fiche de révision : Fractions égales

Fractions égales

• Deux fractions sont égales quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels.
• Autrement dit, la valeur d'une fraction ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
• Pour trouver deux fractions égales :
• s'il n'y a pas d'indication précise, il suffit de prendre une fraction puis de multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par le nombre de notre choix ;
• si le numérateur ou le dénominateur de la fraction égale est donné, il s'agira de trouver le nombre $k$ par lequel le numérateur (ou le dénominateur) a été multiplié ou divisé et d'appliquer la même opération au dénominateur (ou au numérateur).
• Pour démontrer que deux fractions sont égales :
• il suffira de montrer que l'une est obtenue en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur de l'autre par un même nombre ;
• on peut également utiliser l'égalité des produits en croix.

Applications

• Simplifier une fraction, c'est lui trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
• Soient deux entiers $a$ et $b$ avec $b$ non nul. Pour simplifier la fraction $\frac ab$, il s'agira de trouver, si possible, un entier $k$ non nul tel que $a$ et $b$ soient divisibles par $k$.
  Une simplification de $\frac ab$ sera alors $\frac{a\div k}{b\div k}$.
• Cette technique est utilisée pour simplifier certains calculs comme des multiplications ou des divisions d'écritures fractionnaires ; on décompose le numérateur et le dénominateur pour mettre en évidence des facteurs communs puis on simplifie.
• On peut également choisir de multiplier le numérateur et le dénominateur afin d’obtenir une fraction plus simple à calculer.
• Pour effectuer une division par un nombre décimal, on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre de façon à ce que le dénominateur soit un nombre entier.
• Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut que ces dernières soient au même dénominateur. Pour mettre des fractions au même dénominateur, on doit rechercher le plus petit multiple commun aux dénominateurs de départ.
• Cette méthode permet également de comparer des fractions lorsqu'elles ne sont pas au même dénominateur.
• Si deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.
• Si deux fractions ont le même numérateur positif, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
• Soit une fraction dont le dénominateur et le numérateur sont positifs :
• si son numérateur est plus grand que son dénominateur, alors la fraction est supérieure à $1$ ;
• si son numérateur est plus petit que son dénominateur, alors la fraction est inférieure à $1$ ;
• si son numérateur est égal à son dénominateur, alors la fraction est égale à $1$.