Suites numériques, modèles discrets et limites

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Définition de la limite d’une suite

  • Limite finie :
  • Dire qu’un réel $l$ est limite d’une suite $(u_n)$ signifie que tout intervalle ouvert de centre $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = l $$
  • On dit que la suite $(u_n)$ est convergente de limite $l$, ou que la suite $(u_n)$ converge vers $l$.
  • Suite divergeant vers $+\infty$ :
  • Dire qu’une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $[A\ ; +\infty [$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$
  • On dit alors que $(u_n)$ est divergente ou que $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
  • Suite divergeant vers $-\infty$ :
  • Dire qu’une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]-\infty\ ;\,A]$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors : $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$$
  • On dit alors que $(u_n)$ est divergente ou que $(u_n)$ diverge vers $-\infty$.
  • Théorème :

La limite d’une suite, si elle existe, est unique.

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Attention

Une suite n’a pas nécessairement de limite.

Théorèmes sur les limites d’une suite 

  • Suite majorée, minorée et bornée :
  • Une suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un nombre $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq M$.
  • $M$ est appelé le majorant de $(u_n)$.
  • Une suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un nombre $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq m$.
  • $m$ est appelé le minorant de $(u_n)$.
  • Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée.
  • Théorème de comparaison des limites : soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.
  • Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n_0$ : $u_n \leq v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
  • alors : $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$
  • Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à un certain entier naturel $n_0$ : $u_n \leq v_n$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$
  • alors : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty$
  • Théorème des gendarmes : on considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. Si :
  • pour tout entier naturel supérieur à un certain entier naturel $n_0$, $v_n \leq u_n \leq w_n$,
  • les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $l$,
  • alors la suite $(u_n)$ converge vers $l$.
  • Théorème de la limite des suites géométriques $(q^n)$ :
  • Soit $q$ un nombre réel. On a alors les limites suivantes :
  • si $q>1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty } q^n = + \infty$
  • si $-1 < q < 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$
  • si $q \leq - 1$ alors la suite $(q^n)$ n’admet pas de limite.
  • Théorème de convergence des suites monotones :
  • Toute suite croissante majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante minorée est convergente.
  • Du précédent théorème découle un deuxième :
  • Toute suite croissante non majorée a pour limite $+\infty$.
  • Toute suite décroissante non minorée a pour limite $-\infty$.
  • Conséquences du théorème de convergence des suites monotones :
  • Si une suite $(u_n)$ est croissante et admet pour limite $l$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq l$.
  • Si une suite $(u_n)$ est décroissante et admet pour limite $l$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq l$.

Opérations sur les limites

Tableaux récapitulatifs des règles opératoires sur les limites de suites :

Limites de la somme de deux suites

$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
$\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ $l^\prime$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\red{\lim\limits_{n \to +\infty} u_n+v_n}$ $\red{l+l^\prime}$ $\red{+\infty}$ $\red{-\infty}$ $\red{+\infty}$ $\red{-\infty}$ $\red{\text{FI}}$

Limites du produit de deux suites

$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ $l$ $l\neq0$ ou $\pm\infty$ $0$
$\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ $l^\prime$ $\pm\infty$ $\pm\infty$
$\red{\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\times v_n}$ $\red{ l\times l^\prime}$ $\red {\pm\infty}$ $\red{\text{FI}}$

Limites du quotient de deux suites

$\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ $l$ $l$ $0$ $l\neq0$ $\pm\infty$ $\pm\infty$
$\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ $l^\prime\neq0$ $\pm\infty$ $0$ $0$ $l^\prime$ $\pm\infty$
$\red{\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}}$ $\red{\dfrac l{l^\prime}}$ $\red 0$ $\red{\text{FI}}$ $\red{\pm\infty}$ $\red{\pm\infty}$ $\red{\text{FI}}$
  • Le principe est toujours le même pour lever une indétermination :
  • Il faut changer l’écriture de la suite en factorisant, la plupart du temps, par le terme de plus haut degré.

Suites arithmético-géométriques

  • Soit $(u_n)$ une suite de nombres vérifiant $u_{n+1}=au_n+b$, où $a\neq1$ et $b$ sont des nombres réels non nuls.
  • Une telle suite est dite arithmético-géométrique ou récurrence affine.
  • Pour passer de la formule de récurrence à la formule explicite avec de telles suites :
  • On résout l’équation $x=ax+b$.
  • Elle a une solution unique $c$.
  • On introduit la suite auxiliaire $(x_n)$ définie par $x_n=u_n-c$ pour tout entier naturel $n$ : on prouve qu’elle est géométrique (de raison $a$)
  • Il en résulte que, pour tout entier naturel $n$, $x_n=a^nx_0$.
  • On revient à la suite initiale : pour tout entier naturel $n$, $u_n=x_n+c$.
  • D’où l’expression : $u_n=a^n(u_0-c)+c$, pour tout entier naturel $n$.
  • Considérons une suite de nombres $(u_n)$ qui vérifie $u_{n+1}=a\ u_n+b$, avec $a$ et $b$ des nombres réels non nuls, et $-1 < a < 1$.
  • La suite $(u_n)$ converge vers le nombre $c$ qui vérifie $c=ac+b$.
  • La suite est divergente si $a\leq-1$ ou $a\geq 1$.