Suites de matrices colonnes

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2025. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2025 ou des coefficients des matières … 💪

Suite de matrices

  • Soit $m$ un entier naturel.
  • Une suite de matrices colonnes est une suite de matrices de taille $m\times 1$ (que nous simplifierons en disant « de taille $m$ ») dont les coefficients sont des suites numériques.
  • Soit par exemple $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ des suites définies pour tout entier naturel $n$.
  • $(U_n)$ définie ci-dessous pour tout entier naturel $n$ est une suite de matrices colonnes de taille $3$ :

$$U_n=\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \\w_n \end{pmatrix}$$

  • Soit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$, dites « couplées », de premiers termes respectifs $u_0$ et $v_0$, et définies pour tout $n\in \mathbb N$ par :

$$\begin{cases} u_{n+1}=\textcolor{#1E90FF} au_n+\textcolor{#B22222}bv_n+\textcolor{#9400D3}c & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[$a$, $b$, $c$ réels]}}} \\ v_{n+1}=\textcolor{#3CB371}du_n+\textcolor{#FFA500}ev_n+\textcolor{#BDB76B}f & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[$d$, $e$, $f$ réels]}}} \end{cases}$$

  • Nous pouvons alors définir la suite de matrices colonnes $(U_n)$, de taille $2$, par récurrence, avec $A$ une matrice carrée d’ordre $2$ et $B$ une matrice colonne de taille $2$.
    Nous avons $U_0=\binom {u_0}{v_0}$ et, pour tout $n\in \mathbb N$ :

$$\begin{aligned} U_{n+1}&=A\times U_n+B \\ \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Avec\ : }}A&=\begin{pmatrix} \textcolor{#1E90FF}a & \textcolor{#B22222}b \\ \textcolor{#3CB371}d & \textcolor{#FFA500}e \end{pmatrix} \\ B&=\begin{pmatrix} \textcolor{#9400D3}c \\ \textcolor{#BDB76B}f \end{pmatrix} \\ U_n&=\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ pour tout $n\in \mathbb N$}}} \end{aligned}$$

  • Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $m$.
    Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $m$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $U_{n+1}=A\times U_n$.
  • Alors, pour tout entier naturel $n$ : $U_n=A^n\times U_0$.
  • Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $m$.
  • $(U_n)$ est convergente si et seulement si chacune des suites numériques qui constituent ses coefficients est convergente. Sinon, la suite est divergente.
  • Si cette suite est convergente et si $l_1$, $l_2$, …, $l_m$ sont les limites respectives des $m$ suites numériques qui constituent ses coefficients, alors sa limite est la matrice colonne de taille $m$ :

$$L=\begin{pmatrix} l_1 \\ l_2 \\ \vdots \\ l_n \end{pmatrix}$$

  • Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $m$, et $C$ une matrice colonne de taille $m$.
    Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $m$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $U_{n+1}=A\times U_n+C$.
  • Si $(U_n)$ est convergente, alors sa limite $U$ est une matrice colonne de taille $m$ qui vérifie : $U=A\times U+C$.

Méthodologie pour calculer la puissance d'une matrice

De nombreux exercices vous feront calculer la puissance d’une matrice : $A^p$ ($p$ entier naturel non nul).

  • Généralement, l’exercice vous guide pour montrer que la matrice $A$ peut s’écrire sous la forme : $A=P^{-1}\times D\times P$, où la matrice $P$ est inversible et où la matrice $D$ est une matrice diagonale.
  • Il s’agit alors de démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $p$ non nul :

$$A^p=P^{-1}\times D^p\times P$$

  • Connaissant la matrice $D$, qui est diagonale, il est alors facile de calculer $D^p$ avec la méthode que nous avons donnée dans le cours sur le calcul matriciel.
  • Connaissant la matrice $P$, nous pouvons finalement calculer le produit matriciel $P^{-1}\times D\times P$ et ainsi exprimer $A^p$ en fonction de $p$.