Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale

information-icon

Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2025. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2025 ou des coefficients des matières … 💪

  • $\Omega$ désigne l’univers associé à une expérience aléatoire et $p$ une probabilité sur $\Omega$.

Succession d’épreuves indépendantes

  • Soit $A_1,\,A_2,\,…,\, A_n$ $n$ événements de $\Omega$, avec $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
  • Ces événements forment une partition de l’univers $\Omega$ si les $3$ conditions suivantes sont vérifiées :
  • aucun des $A_i$ n’est de probabilité nulle pour $i$ allant de $1$ à $n$ ;
  • les $A_i$ sont $2$ à $2$ disjoints :
  • la réunion des $A_i$ est égale à l’univers $\Omega$.
  • Soit $A_1,\,A_2,\,…,\,A_n$ une partition de l’univers $\Omega$ et $B$ un événement quelconque de $\Omega$.
  • La probabilité de $B$ est donnée par :

$$p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+⋯+p(A_n\cap B)$$

  • Soit $A$ et $B$ deux événements de l’univers $\Omega$, et $p(A)\neq0$.
  • On appelle probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ le nombre :

$$p_A (B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$$

  • Soit $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire.
  • $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
  • Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\bar A$ et $B$ sont également indépendants.
  • Considérons $2$ expériences aléatoires réalisées successivement.
  • On réalise une succession de deux épreuves indépendantes si les événements associés à la première expérience sont indépendants des événements associés à la seconde.
  • On dit que $n$ épreuves aléatoires successives sont indépendantes lorsqu’elles sont $2$ à $2$ indépendantes (c’est-à-dire que le résultat de l’une quelconque parmi elles ne dépend pas du résultat des autres).
  • Considérons une succession de $n$ épreuves indépendantes dont les univers sont $\Omega_1,\,\Omega_2,\,…,\,\Omega_n$.
  • Pour tous événements $A_1,\,A_2,\,…,\,A_n$ de ces univers respectivement, on a :

$$p(A_1\cap A_2\cap …\cap A_n)=p(A_1)\times p(A_2)\times …\times p(A_n)$$

Épreuve et loi de Bernoulli

  • Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement succès ($S$) et échec ($E$).
  • Si on note $p$ la probabilité d’obtenir $S$, alors la probabilité d’obtenir $E$ est $1-p$.
  • On considère une épreuve de Bernoulli avec une probabilité $p$ d’obtenir un succès.
    Soit $X$ la variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs : la valeur $1$ si l’issue est un succès ; la valeur $0$ si l’issue est un échec.
  • Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est appelée loi de Bernoulli de paramètre $p$ :

$x_i$ $1$ $0$
$p(X=x_i)$ $p$ $1-p$
  • Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$, alors :
  • l’espérance mathématique de $X$ vaut : $E(X)=p$ ;
  • la variance de $X$ vaut : $V(X)=p(1-p)$.
  • On appelle schéma de Bernoulli la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
  • Les conditions « identiques » et « indépendantes » doivent être vérifiées dans chaque situation.

Loi binomiale

  • Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de $n$ épreuves d’un schéma de Bernoulli, et $p$ la probabilité de succès à chaque épreuve.
  • La variable aléatoire $X$ suit une loi de probabilité appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal B(n,\, p)$.
  • Pour prouver qu’une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale, on justifie que les conditions suivantes sont vérifiées :
  • il faut avoir $n$ expériences identiques ;
  • chaque expérience a $2$ issues possibles (épreuve de Bernoulli) ;
  • ces expériences sont indépendantes les unes des autres ;
  • la variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès obtenus lors des $n$ épreuves.
  • Considérons un arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.
    Soit $k$ un entier naturel tel que $0\leq k\leq n$.
  • On appelle coefficient binomial, noté $\binom nk$, le nombre de chemins correspondant à $k$ succès.
  • Soit $n$ un entier naturel.
  • Nous avons :

$$\begin{aligned} \binom n0&=\binom nn=1 \\ \binom n k&=\binom n {n-k} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [où $0\leq k\leq n$]}}} \end{aligned}$$

  • Si $n\geq 2$ et $1\leq k\leq n-1$:

$$\binom nk =\binom {n-1}k+\binom{n-1}{k-1}$$

  • Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,\, p)$.
  • Pour tout entier naturel $k$ (avec $0\leq k\leq n)$, la probabilité d’obtenir $k$ succès sur les $n$ épreuves est donnée par :

$$p(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}$$