Représentations paramétriques de droites et équations cartésiennes de plans de l’espace

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2025. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2025 ou des coefficients des matières … 💪

  • Nous travaillerons dans l’espace noté $\mathcal E$, muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$.

Représentation paramétrique d’une droite

  • Soit $(d)$ la droite de $\mathcal E$ passant par $A\,(x_A\ ;\, y_A\ ;\, z_A )$ et de vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}$.
  • On appelle représentation paramétrique de $(d)$ le système d’équations :

$$\begin{cases} x=k\alpha+ x_A \\ y=k\beta + y_A & \text{où }k\in \mathbb R \\ z=k\gamma+ z_A \end{cases}$$

  • $k$ est appelé le paramètre de cette représentation.
  • Nous avons la propriété :

$$\begin{aligned} M\,(x\ ;\, y\ ;\, z) \in (d) \Leftrightarrow&\ \text{il existe $k\in \mathbb R$ tel que\ :} \\ &\ \begin{cases} x=k\alpha+ x_A \\ y=k\beta + y_A \\ z=k\gamma+ z_A \end{cases} \end{aligned}$$

  • Méthodologie pour savoir si un point $M\, (x\ ;\, y\ ;\, z)$ appartient à la droite $(d)$ dont on connaît une représentation paramétrique :
  • on remplace $(x\ ;\, y\ ;\, z)$ dans le système par les coordonnées de $M$ ;
  • on obtient alors trois équations d’inconnue $k$ ;
  • on résout ces équations.
  • Si on trouve une solution, c’est-à-dire une seule valeur pour $k$ dans les trois équations, alors $M\in (d)$.
  • Sinon, $M \notin (d)$.
  • Méthodologie pour identifier une droite donnée par une représentation paramétrique : nous devons identifier dans le système d’équations :
  • les coordonnées d’un vecteur directeur ;
  • les coordonnées d’un point de cette droite.

Équation cartésienne d’un plan

  • $(P)$ de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ admet une équation du type $ax+by+cz+d=0$, où $d\in \mathbb R$.
  • Réciproquement, si $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres réels et $(a,\,b,\,c)\neq (0,\,0,\,0)$, alors une équation du type $ax+by+cz+d=0$ est l’équation d’un plan $(P)$ de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$.
  • Soit $(P)$ un plan de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ et passant par $A\,(x_A\ ;\, y_A\ ;\, z_A )$.
  • $(P)$ admet comme équation $ a(x-x_A )+b(y-y_A )+c(z-z_A)=0$.
  • Cette équation est appelée équation cartésienne du plan $(P)$.
  • Nous avons la propriété :

$$M\,(x\ ;\, y\ ;\, z)\in (P) \Leftrightarrow a(x-x_A )+b(y-y_A )+c(z-z_A)=0$$

  • Méthodologie pour trouver une équation cartésienne du plan $(P)$ dont on connaît un vecteur normal $\vec n$ et au moins un point :
  • on écrit la forme de cette équation : $ax+by+cz+d=0$, en remplaçant $(a\ ;\, b\ ;\, c)$ par les coordonnées de $\vec n$ ;
  • on remplace $(x\ ;\, y\ ;\, z)$ par les coordonnées d’un point du plan ;
  • on obtient une équation d’inconnue $d$ que l’on résout.
  • On a alors une équation cartésienne du plan.
  • Plans particuliers :

Vecteur normal Équation cartésienne
$$\vec \imath\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$x=k \text{, où } k\in \mathbb R$$
$$\vec \jmath\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$y=k \text{, où } k\in \mathbb R$$
$$\vec k \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $$z=k \text{, où } k\in \mathbb R$$

Intersection de droites et de plans

  • Soit $(d)$ et $(d^\prime)$ deux droites dont on connaît les représentations paramétriques, et $(P)$ un plan dont est connue une équation cartésienne :

$$\begin{aligned} (d)&:\begin{cases} x=ak+x_1 \\ y=bk + y_1 & \text{ où } k\in\mathbb R \\ z=ck+z_1 \end{cases} \\ (d^{\prime})&:\begin{cases} x=a^\prime k^{\prime}+x_2 \\ y=b^\prime k^{\prime}+y_2 & \text{ où } k^{\prime}\in\mathbb R \\ z=c^\prime k^{\prime}+z_2 \end{cases} \\ (P)&:\ a^{\prime\prime}x+b^{\prime\prime}y+c^{\prime\prime}z+d =0 \end{aligned}$$

  • Méthodologie pour déterminer la position relative de $(d)$ et $(d^{\prime})$ :
  • On détermine les coordonnées des vecteurs directeurs $\vec u$ de $(d)$ et $\vec v$ de $(d^\prime)$ :

$$\vec u\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\quad \vec v\begin{pmatrix} a^{\prime} \\ b^{\prime} \\ c^{\prime} \end{pmatrix}$$

  • S’ils sont colinéaires, alors $(d)$ et $(d^{\prime})$ sont coplanaires et parallèles. On cherche leur éventuel point d’intersection, pour savoir si elles sont confondues ou strictement parallèles.
  • S’ils ne sont pas colinéaires, on cherche le point d’intersection éventuel de $(d)$ et $(d^{\prime})$ :
  • s’il existe, alors les droites sont sécantes ;
  • sinon, elles ne sont pas coplanaires.
  • Pour chercher l’éventuel point d’intersection, on utilise les représentations paramétriques des deux droites pour obtenir un système de $6$ équations à $5$ inconnues (en rouge ci-dessous) :

$$\begin{cases} \red x=a\red k+x_1 \\ \red y= b\red k + y_1 \\ \red z=c\red k+z_1 \\ \red x=a^\prime \red {k^{\prime}}+x_2 \\ \red y=b^\prime \red{k^{\prime}}+y_2 \\ \red z=c^\prime \red{k^{\prime}}+z_2 \end{cases}$$

  • Pour résoudre ce système :
  • on garde par exemple les trois premières lignes pour conserver les trois inconnues $x$, $y$ et $z$ ;
  • on travaille sur les trois dernières lignes e substituant $x$, $y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction du paramètre $k$.
  • Ainsi, on détermine si $k$ et $k^{\prime}$ peuvent exister.
  • S’il n’y pas de solutions pour $k$ et $k^{\prime}$, alors il n’y a pas de solution au système et les droites sont non coplanaires.
  • Méthodologie pour déterminer la position relative de $(d)$ et $(P)$ :
  • On détermine les coordonnées du vecteur directeur $\vec u$ de $(d)$ et du vecteur normal $\vec n$ de $(P)$ :

$$\vec u\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\quad \vec n\begin{pmatrix} a^{\prime\prime} \\ b^{\prime\prime} \\ c^{\prime\prime} \end{pmatrix}$$

  • On calcule leur produit scalaire pour savoir s’ils sont orthogonaux.
  • S’ils sont orthogonaux, alors $(d)$ et $(P)$ sont parallèles.
  • S’ils ne sont pas orthogonaux, $(d)$ et $(P)$ sont sécants.
  • Pour trouver leur point d’intersection, on utilise la représentation paramétrique de $(d)$ et l’équation cartésienne de $(P)$ pour obtenir un système de $4$ équations à $4$ inconnues (en rouge ci-dessous) :

$$\begin{cases} \red x=a\red k+x_1 \\ \red y=b\red k + y_1 \\ \red z=c\red k+z_1 \\ a^{\prime\prime}\red x+b^{\prime\prime}\red y+c^{\prime\prime}\red z+d =0 \end{cases}$$

  • Pour résoudre ce système :
  • on remplace $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $k$ dans la dernière équation ;
  • on obtient ainsi une équation d’inconnue $k$, que l’on résout ;
  • une fois cette équation résolue, on peut calculer $x$, $y$ et $z$ puisque l’on connaît la valeur de $k$.