Primitives et équations différentielles

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Notion de primitive

  • Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$.
  • On appelle primitive d’une fonction $f$ sur $I$ une fonction $F$ dérivable sur $I$ dont la dérivée est égale à $f$.
  • Pour tout $x$ de $I$, $F^{\prime} (x)=f(x)$.
  • Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
  • Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les fonctions de la forme $F+k$, où $k$ est une fonction constante, sont aussi des primitives de $f$.

Calculs de primitives

  • Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, et $F$ et $G$ deux primitives de $f$ et $g$ respectivement. Soit un réel $k$.
  • La fonction $F+G$ est une primitive de $f+g$.
  • La fonction $kF$ est une primitive de $kf$.
  • Primitives de fonctions usuelles

Fonction $f$ Une primitive $F$ Ensemble de définition
$x \mapsto a$ $x \mapsto ax$ $\mathbb R$
$x \mapsto x^n$

$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $n\neq -1$ entier relatif]}}}$

$x \mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ $\mathbb R$ si $n \geq 0$

$\mathbb R^*$ si $n<0$

$x \mapsto \dfrac{1}{x}$ $x \mapsto \ln x$ $\mathbb R^{*+}$
$x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x}$ $x \mapsto 2\sqrt x$ $\mathbb R^{*+}$
$x \mapsto$ e$^x$ $x \mapsto$ e$^x$ $\mathbb R$
$x \mapsto \cos x$ $x \mapsto \sin x$ $\mathbb R$
$x \mapsto \sin x$ $x \mapsto -\cos x$ $\mathbb R$
  • Primitives de fonctions composées
  • Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $I$.

Fonction $f$ Une primitive $F$
$u^{\prime} u^n$

$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $n\neq -1$ entier relatif}}}$

$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ et, si $n<0$, $u$ ne s’annulant pas sur $I$]}}}$

$\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$
$u^{\prime} \text{e}^u$ ${\text{e}}^u$
$u^{\prime} \cos{(u)}$ $\sin{(u)}$
$u^{\prime} \sin{(u)}$ $-\cos{(u)}$
$\dfrac{u^{\prime} }{u}$

$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $u>0$ sur $I$]}}}$

$\ln {(u)}$
$\dfrac{u^{\prime} }{\sqrt u}$

$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $u>0$ sur $I$]}}}$

$2\sqrt u$

Équations différentielles du premier ordre

  • Une équation différentielle du premier ordre sans second membre est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable, qui s’écrit sous la forme : $y^\prime = ay$, avec $a \in \mathbb R$.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$y(x) = k {\text{e}}^{ax} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$

  • Une équation différentielle du premier ordre avec second membre constant est une équation, d’inconnue une fonction $y$ dérivable, qui s’écrit sous la forme : $y^\prime = ay + b$, avec $a\neq 0$ et $b$ deux réels.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$y(x) = k {\text{e}}^{ax} - \dfrac{b}{a}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$

  • À l’aide d’une condition initiale sur la fonction $y$, nous pouvons déterminer la valeur de $k$ et la fonction $y$ solution sera unique.
  • Pour résoudre les équations différentielles du premier ordre du type $y^\prime = ay + f$ ($a$ réel, $f$ une fonction), il faut connaître ou avoir déterminé une solution particulière $y_0$.
  • Les solutions de cette équation sont alors les fonctions définies sur $\mathbb R$ par :

$$ y(x)=y_0(x) + k {\text{e}}^{ax}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$