Le point de vue géométrique des nombres complexes

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  • Nous nous plaçons dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v})$, appelé plan complexe.

Nombres complexes et représentation dans un repère

  • Soit un nombre complexe $z$ dont l’écriture algébrique est $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ des nombres réels.
  • L’image de ce nombre complexe $z$ dans le plan complexe est le point $M$ de coordonnées $(a\ ;\, b)$.
  • Et à $z$ est associé tout vecteur $\overrightarrow{w\ }$ de coordonnées $\binom ab$.
  • Axes et origine du repère :
  • Les images des réels sont sur l’axe des abscisses $(O\ ;\, \vec u)$, appelé axe des réels.
  • Les images des imaginaires purs sont sur l’axe des ordonnées $(O\ ;\, \vec v)$, appelé axe des imaginaires.
  • Le complexe nul $z=0$ a pour image l’origine du repère.

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  • À tout point du plan complexe $M$ de coordonnées $(a\ ;\, b)$, avec $a$ et $b$ des réels, est associé un unique nombre complexe $z_M$, dont l’écriture algébrique est $z_M=a+\text{i}b$.
  • $z_M$ est alors appelé affixe du point $M$.
  • Soit les points $M$ d’affixe $z$, $M^\prime$ d’affixe $-z$ et $M^{\prime\prime}$ d’affixe $\bar z$.
  • $M^{\prime}$ est l’image de $M$ par symétrie centrale de centre $O$ ;
  • $M^{\prime\prime}$ est l’image de $M$ par symétrie axiale selon l’axe des réels.
  • À tout vecteur $\overrightarrow{w\ }$ du plan complexe de coordonnées $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, avec $a$ et $b$ des réels, est associé un unique nombre complexe $z_{\overrightarrow{w\ }}$ dont l’écriture algébrique est $z_{\overrightarrow{w\ }}=a+\text{i}b$.
  • $z_{\overrightarrow{w\ }}$ est alors appelé affixe du vecteur $\overrightarrow{w\ }$.
  • Soit les points $A$ d’affixe $z_A$ et $B$ d’affixe $z_B$.
    Soit les vecteurs $\overrightarrow {w\ }$ d’affixe $z_{\overrightarrow{w\ }}$ et $\overrightarrow{w^{\prime}\ }$ d’affixe $z_{\overrightarrow{w^{\prime}\ }}$.

Propriétés
$A$ et $B$ sont confondus si et seulement si $z_A=z_B$
Le milieu du segment $[AB]$ a pour affixe : $$\dfrac{z_A+z_B}{2}$$
Le vecteur $\overrightarrow{AB\ }$ a pour affixe : $$ z_B-z_A$$
Le vecteur $\overrightarrow{w\ }+\overrightarrow{w^{\prime}\ }$ a pour affixe : $$ z_{\overrightarrow{w\ }}+z_{\overrightarrow{w^{\prime}\ }}$$
Le vecteur $k\overrightarrow{w\ }$ (avec $k$ réel) a pour affixe : $$k\,z_{\overrightarrow{w\ }}$$

Module et argument d’un nombre complexe

  • Soit un point $M$ du plan d’affixe $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ réels.
  • La distance $OM$, avec $O$ l’origine du repère, est aussi appelée module de $z$ :

$$\vert z\vert=OM=\sqrt{a^2+b^2}$$

  • Nous avons aussi les égalités suivantes :

$$\begin{aligned} z \bar{z}&=\vert z\vert ^2 \\ \vert z\vert &=\sqrt{z\bar{z}} \end{aligned}$$

  • Les modules permettent notamment de démontrer des égalités de longueur et des propriétés de certaines figures.
  • Soit un point $M$ d’affixe $z$ non nulle situé dans le plan complexe associé au repère $(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v})$, alors une mesure en radian de l’angle $(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ })$ est un argument de $z$.
  • On le note $\arg{(z)}$.
  • Il existe une infinité d’arguments possibles au complexe $z$ associé à $M$, et on utilise souvent la notation :

$$\arg{(z)}=\theta\, \lbrack 2\pi\rbrack$$

  • $0$ n’a pas d’argument.

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$z$ réel strictement positif $$\arg{(z)}=0\,\lbrack 2\pi\rbrack$$
$z$ réel strictement négatif $$\arg{(z)}=\pi\,\lbrack 2\pi\rbrack$$
$z$ imaginaire pur

avec sa partie imaginaire

strictement positive

$$\arg{(z)}=\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack$$
$z$ imaginaire pur

avec sa partie imaginaire

strictement négative

$$\arg{(z)}=-\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack $$
  • Tout nombre complexe $z$ non nul admet une écriture trigonométrique tel que :

$$\begin {aligned} z&=r \big(\cos{(\theta)}+\text{i} \sin{(\theta)}\big) \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $r=\vert z\vert$ et $\theta=\arg{(z)}$]}}} \end{aligned}$$

  • Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (modulo $2\pi$).
  • Propriétés opératoires :
  • $z$ et $z^{\prime}$ sont deux nombres complexes non nuls, $n$ un entier naturel.

Opposé $\vert -z\vert=\vert z\vert$ $\arg(-z)=\arg(z)+\pi \,\lbrack 2\pi\rbrack$
Conjugué $\vert \bar z\vert=\vert z\vert$ $\arg(\bar{z})=-\arg(z) \,\lbrack 2\pi\rbrack$
Produit $\vert z\times z^{\prime}\vert =\vert z\vert \times \vert z^{\prime}\vert$ $\arg(zz^{\prime})=\arg(z)+\arg(z^{\prime})$
Puissance $\vert z^n\vert=\vert z\vert ^n$ $\arg(z^n)= n\,\arg(z)$
Inverse $\left\vert \dfrac{1}{z}\right\vert =\dfrac{1}{\vert z\vert }$ $\arg\left(\dfrac 1z\right)=- \arg(z)$
Quotient $\left\vert \dfrac z{z^{\prime}}\right\vert =\dfrac{\vert z\vert }{\vert z^{\prime}\vert }$ $\arg\left(\dfrac z{z^{\prime}}\right)=\arg(z)- \arg(z^{\prime})$
  • Notons que les formules pour les modules de l’opposé, du conjugué, d'un produit et d'une puissance sont aussi valables pour $z$ et $z^\prime$ nuls.

Ensemble $\mathbb U$ des nombres complexes de module $1$

  • L’ensemble des nombres complexes de module $1$ est noté $\mathbb U$.
  • L’ensemble des points qui leur sont associés dans le plan complexe forme un cercle de centre $O$ et de rayon $1$, appelé cercle trigonométrique.
  • Soit $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ réels, un nombre complexe appartenant à $\mathbb U$.
  • On a alors : $a^2+b^2=1$.
  • $\mathbb U$ est stable par produit et par passage à l’inverse.