Les nombres complexes d'un point de vue algébrique

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L’ensemble des nombres complexes

  • On admet qu’il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$, qui possède les propriétés suivantes :
  • $\mathbb{C}$ contient l’ensemble des nombres réels ;
  • $\mathbb{C}$ est muni d’une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$, avec les mêmes propriétés ;
  • $\mathbb{C}$ contient un élément noté $\text{i}$ tel que $\text{i}^2=-1$ ;
  • Pour tout élément $z$ de $\mathbb{C}$, il existe un unique couple de réels $(a\ ;\, b)$ tel que $z=a +\text{i}b$.
  • L’écriture d’un nombre complexe $z$ sous la forme $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ deux nombres réels, est appelée forme algébrique de $z$.
  • $a$ est appelé partie réelle de $z$, notée $\mathfrak{Re}(z)=a$ ;
  • $b$ est appelé partie imaginaire de $z$ , notée $\mathfrak{Im}(z)=b$.
  • Les parties réelle ou imaginaire d’un complexe peuvent être nulles.
  • si $\mathfrak{Im}(z)=0$, alors $z$ est un nombre réel ;
  • si $\mathfrak{Re}(z)=0$, alors $z$ est un imaginaire pur ;
  • $z=0$ est l’unique complexe qui est à la fois réel et imaginaire pur.
  • L’égalité entre deux nombres complexes implique que leurs parties réelles sont égales et que leurs parties imaginaires sont aussi égales.
  • Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.
  • Opérations dans $\mathbb{C}$
  • Soit $z$ et $z^{\prime}$ deux nombres complexes tel que $z=a+\text{i}b$ et $z^{\prime}=a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}$, avec $a$, $b$, $a^{\prime}$ et $b^{\prime}$ des nombres réels.

Somme $$z+z^{\prime}=(a+a^{\prime})+\text{i}(b+b^{\prime})$$
Opposé d'un complexe $z^\prime$ $$-z^\prime=-a^\prime-\text ib^\prime$$
Soustraction $$z-z^{\prime}=(a-a^{\prime})+\text{i}(b-b^{\prime})$$
Produit $$zz^{\prime}=(aa^{\prime}-bb^{\prime})+\text{i}(ab^{\prime}+a^{\prime}b)$$
Inverse d'un complexe non nul $z^\prime$ $$\dfrac 1{z^\prime}=\dfrac{a^\prime-\text{i}b^\prime}{{a^\prime}^2+{b^\prime}^2}$$
Quotient d'un complexe $z$ par un complexe non nul $z^\prime$ $$\dfrac z{z^\prime}=z\times \dfrac 1{z^\prime}$$

Conjugué d’un nombre complexe

  • Soit $z$ un nombre complexe tel que $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ deux réels.
  • Le conjugué de $z$ est le nombre complexe $\bar{z}= a -\text{i}b$.

Propriétés
$z$ est un réel si et seulement si $z=\bar{z}$
$z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z=-\bar{z}$
$z+\bar{z}=2\, \mathfrak{Re}(z)$
$z-\bar{z}=2 \text{i}\, \mathfrak{Im}(z)$
$\begin{aligned} z\bar{z}&=a^2+b^2 \\ &\geq 0 \end{aligned}$
$\overline{\overline{z}}=z$
$\overline{-z}=-\bar{z}$
$\overline{z+z^{\prime}}=\bar{z}+\overline{z^{\prime}}$
$\overline{z\times z^{\prime}}=\bar{z}\times \overline{z^{\prime}}$
$\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $n\in \mathbb N$\ : }} \overline{z^n}=(\bar{z})^n$
$\textcolor{#A9A9A9}{\text{Si $z^\prime\neq 0$\ : }} \overline{\left(\dfrac 1{z^\prime}\right)}=\dfrac 1{\bar{z^\prime}}$
$\textcolor{#A9A9A9}{\text{Si $z^\prime\neq 0$\ : }}\overline{\left(\dfrac z{z^\prime}\right)}=\dfrac {\bar z}{\bar{z^\prime}}$

Résolution d’équations dans $\mathbb C$

  • Pour résoudre une équation du premier degré ne comportant que $z$, il faut comme dans le cas d’équations dans $\mathbb R$, isoler $z$.
  • Pour avoir la forme algébrique de $z$, si on obtient un quotient de complexes, il faut multiplier ce quotient au numérateur et au dénominateur par le conjugué du dénominateur afin d’isoler la partie réelle et la partie imaginaire.
  • Pour résoudre une équation du premier degré comportant $z$ et $\bar{z}$, il faut remplacer $z$ et $\bar{z}$ par $a+\text{i}b$ et $a-\text{i}b$, avec $a$ et $b$ des réels.
  • On séparera dans l’expression obtenue les parties réelles et les parties imaginaires afin de déterminer les valeurs possibles pour $a$ et $b$.

Le binôme de Newton

  • Soit $z$ et $z^{\prime}$ deux nombres complexes.
  • On a, pour tout entier naturel $n$ :

$$\begin{aligned} (z+z^{\prime})^n&= \binom n0 z^n + \binom n1 z^{n-1}z^{\prime} + … + \binom n{n-1} z {z^{\prime}}^{\,n-1} + \binom nn {z^{\prime}}^{\,n} \\ &=\sum_{k=0}^n \binom nk z^{n-k} {z^{\prime}}^{\,k} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [$\binom n k =\frac{n!}{k!(n-k)!}$ sont les coefficients binomiaux]}}} \end{aligned}$$

  • En pratique, la formule du binôme de Newton permet de développer ou de factoriser des complexes, cela va notamment intervenir pour résoudre des équations de degré supérieur à $2$ ou pour étudier certains polynômes de complexes.