Cours : Mouvements et cinématique

Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Notion de vitesse instantanée

Considérons un système en mouvement, par exemple une cycliste. Connaissant la distance qu’elle a parcourue et le temps de parcours, on peut estimer sa vitesse moyenne.

Rappel

La vitesse moyenne d’un objet, représenté par un point matériel, entre deux dates $t_1$ et $t_2$ s’exprime ainsi :

$$\vec{v}=\dfrac{\overrightarrow{MM'\ }}{t_2-t_1}$$

$M$ est ici la position de l’objet à la date $t_1$ et $M'$ est sa position à la date $t_2$.

Mais la cycliste ne se déplace pas à la même vitesse sur tout le parcours. On peut alors estimer sa vitesse sur de courtes périodes en choisissant des dates $t_1$ et $t_2$ très proches. Des variations infinitésimales apparaissent alors :

$$\begin{aligned} \dfrac{\overrightarrow{MM'\ }}{t_2-t_1}&=\dfrac{\overrightarrow{OM'\ }-\overrightarrow{OM\,}}{t_2-t_1} \\ &=\dfrac{\overrightarrow{OM\,}}{\Delta t} \end{aligned}$$

Avec $O$ l’origine du repère et $\overrightarrow{OM\,}$ le vecteur position du cycliste à la date $t$.

À la limite $\Delta t \to 0$, cette quantité tend vers la dérivée : $\dfrac{d\overrightarrow{OM\,}}{dt}$

Définition

Vitesse instantanée :

La vitesse instantanée d’un point matériel est la dérivée par rapport au temps de son vecteur position :

$$\vec{v}=\dfrac{d\overrightarrow{OM\,}}{dt}$$

• La vitesse instantanée s’exprime en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Les composantes de la vitesse instantanée d’un point matériel dans une base orthonormée sont égales aux dérivées par rapport au temps des composantes du vecteur position.
On peut considérer ces grandeurs comme des fonctions du temps (variable $t$) car, à une date donnée, le système considéré ne peut être qu’à un endroit.

Exemple

Considérons par exemple que les composantes du vecteur position du système sont des fonctions du temps :

$$\overrightarrow{{OM\,}}=\begin{pmatrix} b\times t \\ c\times t^{2}+d \\ \end{pmatrix}$$

($b$, $c$ et $d$ sont des constantes.)

Alors le vecteur vitesse s’écrit :

$$\begin{aligned} \vec{v}(M)&=\begin{pmatrix} \dfrac{d(b\times t)}{dt\ \ } \\ \dfrac{d(c\times t^{2}+d)}{dt} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} b \\ 2\times c\times t \end{pmatrix} \end{aligned}$$

La dérivée, définie comme une limite mathématique, existe car, à tout instant, il est possible de mesurer la vitesse du système. La vitesse instantanée montre la direction suivie par le système à un instant donné. Elle est donc tangente à la trajectoire.

Dans l’exemple de la cycliste, la donnée de la vitesse instantanée à chaque instant rend compte du trajet effectué avec plus de détails.

• On peut en déduire, par exemple, les rues empruntées, les arrêts effectués ou encore les zones de montée où la vitesse instantanée décroît.

Exemple

Voici une vue de dessus du trajet de la cycliste, et l’évolution de $\Vert\vec{v}\Vert$ avec le temps.

Évolution de la vitesse de la cycliste avec le temps

Détermination d’une vitesse instantanée d’après une chronophotographie

Mathématiquement, il est possible de dériver des fonctions, donc de connaître leurs variations sur des intervalles infiniment courts. Expérimentalement, on mesure des variations finies sur des intervalles très courts.

En calculant la vitesse moyenne d’un objet sur un intervalle court, par exemple $10\ \text{ms}$, on obtient une valeur approchée de sa vitesse instantanée au début de cet intervalle. Pour ce faire, on peut s’appuyer sur une chronophotographie.

Définition

Chronophotographie :

Une chronophotographie est une série de photographies d’un objet en mouvement prises à intervalles réguliers de temps et superposées sur une même image.

Attention

L’appareil-photo doit être immobile dans le référentiel du laboratoire pendant l’expérience. Pour éviter les erreurs, la ligne de visée de l’appareil-photo à l’objet doit être perpendiculaire au plan de la trajectoire étudiée.

La mesure se déroule en plusieurs étapes.

• Tâches préliminaires :
• mesurer sur l’image les dimensions de l’objet en mouvement, pour se munir d’une échelle ;
• marquer sur chacune des images successives la position du centre de gravité de l’objet ;
• numéroter les images successives $M_1$, $M_2$… de l’objet de façon à orienter correctement la vitesse et la trajectoire.
• Mesure de vitesse au point n° $i$ :
• mesurer la distance entre les points $M_i$ et $M_{i+1}$ et utiliser l’échelle de distance ;
• diviser par l’intervalle de temps séparant deux images ;
• la direction et le sens du vecteur $\vec v_i$ sont les mêmes que ceux du vecteur $\overrightarrow{M_i M_{i+1}}$ ;
• choisir une échelle de vitesse et tracer le vecteur $\vec v_i$.

Exemple

Exemple de chronophotographie (mesure de la vitesse)

$$\begin{aligned} M_1M_2&=4\ \text{cm\ (photo)} \\ &=40\ \text{cm\ (réalité)} \\ t_2-t_1&=0,01\ \text{s} \\ v_1&=40\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}$$

Échelle : $$\begin{aligned} D&=0,8\ \text{cm\ (photo)} \\ &=8\ \text{cm\ (réalité)} \\ 1\ \text{cm\ (photo)}&\leftrightarrow10\ \text{cm\ (réalité)} \end{aligned}$$

Échelle de vitesse : $$1\ \text{cm\ (photo)}\leftrightarrow10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\ \text{(réalité)}$$

Effet des forces extérieures sur la vitesse

Variation de vitesse et forces extérieures – relation approchée

Rappel

D’après le principe d’inertie, si aucune force extérieure ne s’exerce sur le système, celui-ci reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Dans ce dernier cas, la vitesse du système est conservée, en norme et en direction.

Considérons par exemple une expérience de chute libre dans laquelle on lâche une balle de tennis. Sa vitesse verticale augmente au cours de la chute.
D’après le principe d’inertie, le système subit donc une force extérieure, responsable de cette accélération. Ici, en l’absence de la résistance de l’air, la seule force extérieure est le poids de la balle.
On poursuit l’expérience en lâchant simultanément une balle de tennis et une balle de ping-pong.

• Les deux balles touchent le sol en même temps alors que leurs masses sont différentes.

La variation de vitesse lors d’une chute libre est donc due au poids, mais ne dépend pas de la masse.
Ceci justifie la relation approchée :

$$\begin{aligned} m\dfrac{\vec v_2-\vec v_1}{t_2-t_1}&=\vec{P} \\ &=m\vec{g} \end{aligned}$$

($\vec v_1$ est la vitesse du système à la date $t_1$ et $\vec v_2$ sa vitesse à une date $t_2$ ultérieure.)

La masse $m$ du système se simplifie dans le cas d’une chute libre. Le membre de gauche fait apparaître la variation de vitesse du système.

Définition

Variation de vitesse :

On appelle variation de vitesse la différence entre vitesses instantanées du système mesurées à des dates voisines.

Attention

La variation de vitesse est une différence de vecteurs. Si la vitesse du système change de direction, même si sa norme est constante, cette variation ne sera pas nulle. L’effet d’une force extérieure peut donc être de courber la trajectoire d’un objet.
Par exemple, la vitesse d’un satellite en orbite autour de la Terre est constante en norme mais pas en direction. La force appliquée est l’attraction gravitationnelle exercée par la Terre.

Vecteur vitesse d’un satellite en orbite autour de la Terre

Attention

Lors d’une chute libre, la seule force exercée sur le système est son poids. Un objet tombant dans le vide est donc en chute libre. Mais, d’après le chapitre précédent, l’air se comprime lors de la chute d’un objet. Il résiste à la chute du système, donc exerce une force.
On peut cependant considérer cette résistance comme très faible et considérer une chute « libre » dans l’air, si l’expérience est assez courte et que le système a une faible surface sur sa face inférieure.
C’est le cas de la balle de tennis, ou d’un parachutiste n’ayant pas encore déployé son parachute.

Accélération instantanée

La relation établie précédemment est aussi valable pour des dates $t_1$ et $t_2$ très proches. Le membre de gauche fait alors apparaître des variations infinitésimales :

$$m\dfrac{\vec v_2-\vec v_1}{t_2-t_1}=m\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$$

À la limite $\Delta t \to 0$, on fait apparaître la dérivée $\dfrac{d\vec{v}}{dt}$ :

$$m\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}$$

($\vec{F}$ est la somme des forces extérieures.)

Définition

Accélération instantanée :

La dérivée par rapport au temps de la vitesse instantanée du système est appelée accélération instantanée :

$$\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}$$

• L’accélération instantanée s’exprime en $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$.

Les composantes de l’accélération dans une base orthonormée sont égales aux dérivées des composantes de la vitesse.

Exemple

Considérons l’exemple vu plus haut, où les composantes du vecteur position et du vecteur vitesse du système sont des fonctions du temps :

$$\vec{v}(M)=\begin{pmatrix} b \\ 2\times c\times t \end{pmatrix}$$

($b$ et $c$ sont des constantes.)

Le vecteur accélération s’écrit alors :

$$\begin{aligned} \vec{a}(M)&=\begin{pmatrix} \dfrac{db\ }{dt\ \ } \\ \dfrac{d(2\times c\times t)}{dt} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 \\ 2\times c \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Détermination d’une accélération instantanée d’après une chronophotographie

Comme pour la vitesse précédemment, on peut estimer approximativement une accélération instantanée à l’aide d’une chronophotographie. Après avoir déterminé les vitesses (voir plus haut), on procède comme suit.

• Mesure d’accélération au point n° i par construction graphique :
• reporter la vitesse $\vec v_{i+1}$ au point $M_i$;
• compléter le triangle ainsi formé : ce dernier côté est la variation de vitesse $\overrightarrow{\Delta v}_{(i)(i+1)}=\vec v_{i+1} - \vec v_i$ ;
• mesurer la variation de vitesse $\overrightarrow{\Delta v}_{(i)(i+1)}$ et utiliser l’échelle de vitesse ;
• diviser par l’intervalle de temps séparant deux images ;
• la direction et le sens du vecteur $\vec a_i$ sont les mêmes que ceux du vecteur $\overrightarrow{\Delta v}_{(i)(i+1)}$ ;
• choisir une échelle d’accélération et tracer le vecteur $\vec a_i$.

Exemple

Exemple de chronophotographie (mesure de l’accélération)

$$\begin{aligned} \Delta v_{(1)(2)}&=1\ \text{cm\ (photo)} \\ &=10\ \text{cm}\cdot\text{s}^{-1}\ \text{(réalité)} \\ t_2-t_1&=0,01\ \text{s} \\ a_1&=10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2} \end{aligned}$$

Les lois de Newton

La quantité de mouvement

La masse de la balle de tennis de l’expérience de chute libre est constante. Le membre de gauche de la relation établie peut donc s’écrire :

$$\begin{aligned} m\dfrac{d\vec{v}}{dt}&=\dfrac{d(m\vec{v})}{dt} \\ &=\dfrac{d\vec{p}}{dt} \end{aligned}$$

Définition

Quantité de mouvement :

Le vecteur quantité de mouvement d’un système est le produit de sa masse par son vecteur vitesse :

$$\vec{p}=m\vec{v}$$

• La quantité de mouvement s’exprime en $\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

À retenir

L’application de forces sur un système matériel fait varier sa quantité de mouvement. Pour une force donnée, la variation de vitesse induite est d’autant plus importante que la masse du système est faible.

La relation établie permet d’étudier aussi un système dont la masse varie. Par exemple, une fusée en ascension consomme son carburant et, donc, elle s’allège à mesure qu’elle s’élève. De tels cas seront abordés plus tard.

Exemple

Le spationaute et le satellite évoqués dans l’énoncé sont en chute libre. La seule force extérieure exercée sur chacun est une action à distance, l’attraction gravitationnelle de la Terre. L’écriture de cette force sera vue dans le chapitre suivant.

• Dans chaque cas, la force exercée modifie la quantité de mouvement du système et régit donc sa trajectoire.

Énoncé des lois de Newton

On étudie l’effet de forces sur les trajectoires d’objets matériels à l’aide des trois lois suivantes énoncées par Isaac Newton.

La première loi de Newton est aussi appelée principe d’inertie.

Rappel

D’après la troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques, si un système $A$ exerce sur un système $B$ une force $\vec{F}$, alors $B$ exerce sur $A$ une force $-\vec{F}$, de même norme et de sens opposé.

À retenir

D’après le principe fondamental de la dynamique ou deuxième loi de Newton, la dérivée temporelle de la quantité de mouvement d’un système est égale à la somme des forces s’exerçant sur celui-ci.
En notant $m$ la masse (constante) du système et $\vec{F}$ la résultante des forces s’exerçant sur celui-ci, on a la relation vectorielle :

$$m\vec{a}=\vec{F}$$

Ainsi, on peut utiliser la deuxième loi pour :

• estimer l’accélération du système, connaissant les forces extérieures ;
• estimer les forces appliquées au système, connaissant sa trajectoire et ses variations de vitesse.
• Une force s’exprime en newton ($\text{N}$). L’expression ci-dessus fournit la conversion entre cette unité et les autres unités SI :

$$1\ \text{N}=1\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$$

Attention

Les première et deuxième lois de Newton ainsi exprimées ne sont valables que dans un référentiel dit galiléen.

Référentiels galiléens

Définition

Référentiel galiléen :

On appelle référentiel galiléen (ou référentiel inertiel) un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié.

Exemple

• Le référentiel héliocentrique est galiléen. Son centre est le centre du Soleil et ses axes pointent vers $3$ étoiles lointaines.
• Le référentiel géocentrique est centré sur le centre de la Terre et ses axes pointent vers $3$ étoiles lointaines. Il est considéré comme galiléen si le mouvement étudié est court par rapport à une révolution terrestre, soit moins d’un mois.
• Tout référentiel fixe à la surface de la Terre est considéré comme galiléen si le mouvement étudié est court par rapport à une rotation terrestre, soit moins d’une heure.
• Ainsi, le référentiel d’une salle de TP peut être considéré comme galiléen.