Cours : La statique des fluides

Descriptions microscopique et macroscopique d’un fluide

On appelle fluide un matériau dans un état physique particulier, comme nous allons le voir.

Rappel

La matière est ce qui constitue la Terre, les objets qui nous entourent et nous-mêmes. Le vide est l’absence de matière. La matière peut exister dans les trois états suivants :

• à l’état solide, la matière est peu ou pas déformable et n’a pas besoin d’un contenant ;
• à l’état liquide, la matière doit être contenue car elle peut s’écouler à plat ou vers le bas ;
• à l’état gazeux, la matière occupe tout l’espace disponible et doit être contenue dans toutes les directions.

Exemple

Par exemple, on trouve l’eau dans chacun des trois états :

• état solide : glace formant un glacier, un flocon de neige, un grêlon ;
• état liquide : eau des mers et rivières, goutte de pluie, nuage constitué de très petites gouttes en suspension dans l’air ;
• état gazeux : vapeur (invisible !) au-dessus d’une casserole d’eau chaude, degré d’humidité de l’air indiqué par une station météo.

Description macroscopique d’un fluide

On remarque que deux états de la matière lui permettent de s’écouler.

Définition

Fluide :

On appelle fluide un matériau dont l’état physique lui permet de s’écouler.

Nous ne nous intéresserons ici qu’aux états liquides et gazeux, mais le plasma, qui est un autre état de la matière, est aussi un fluide.

Exemple

Voici des exemples de fluides :

• la lave au flanc d’un volcan, l’eau d’une rivière ;
• l’air de l’atmosphère est aussi un fluide : le phénomène lié à son écoulement est le vent.

Attention

Le sable qui s’écoule dans un sablier est constitué de petits grains solides glissant les uns sur les autres. Il ne s’agit pas d’un fluide.

Description microscopique d’un fluide

D’un point de vue microscopique, la matière est constituée d’atomes ou de molécules, que nous appellerons ici particules.
À l’état solide, les distances entre les particules, ainsi que la structure selon laquelle elles sont arrangées, sont fixes : un solide ne s’écoule pas et se déforme peu, ou pas.

Exemple

Une mine de crayon en graphite est constituée d’atomes de carbone. La glace est constituée de molécules d’eau.

À retenir

D’un point de vue microscopique, un fluide est constitué de molécules ou atomes pouvant se déplacer les un(e)s par-rapport aux autres, par opposition à un corps solide.

Présentation des paramètres physiques

Des grandeurs physiques permettent de décrire un fluide : la masse volumique, la pression, la température.

La masse volumique

Définition

Masse volumique :

On appelle masse volumique d’un objet la masse de celui-ci divisée par son volume.
De même, la masse volumique d’un matériau est la masse de matière contenue dans un volume d’un mètre cube.

À retenir

Avec $V$ le volume occupé, $M$ la masse contenue dans le volume $V$, et $\rho$ la masse volumique, on note :
$$\rho=\dfrac{M}{V}$$

Dans le Système international, la masse volumique est mesurée en $\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$.
La masse volumique de l’eau liquide vaut : $1\,000\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$.

Exemple

Voici quelques exemples de masses volumiques (valeurs moyennes) :

• air (à $25\,\degree\text{C}$ et à pression atmosphérique) : $\rho=1,225\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$ ;
• glace : $\rho=900\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$ ;
• pierre calcaire : $\rho$ comprise entre $2\,000$ et $2\,800\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$ ;
• fer : $\rho=7\,860\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$

La pression

On peut observer qu’un glaçon dans un verre d’eau flotte : il prend appui sur l’eau. Le poids du glaçon s’exerce sur l’eau, qui exerce en retour une force égale et opposée, permettant à celui-ci de ne pas couler.

À l’échelle microscopique, deux particules d’un fluide ne peuvent pas se trouver au même endroit au même moment : si elles sont proches, elles entrent en collision.
De même, un fluide au contact d’une paroi solide exerce sur celle-ci une force, due aux collisions de particules du fluide contre la paroi. Cette force augmente avec le nombre de collisions, donc avec la surface de contact.

Définition

Pression :

Un fluide au contact d’une paroi solide exerce sur celle-ci une force pressante $\vec F_p$ :

• cette force est d’autant plus importante que la surface est grande ;
• elle s’exerce avec une direction perpendiculaire à la surface ;
• elle augmente avec la température.
• Le rapport de la force sur la surface de contact est appelé pression.

À retenir

Avec $F$ la norme de la force pressante (en $\text{N}$), $S$ la surface de contact (en $\text{m}^2$), et $P$ la pression du fluide, on note :
$$F=P\times S$$

Dans le Système international, on mesure la pression en pascal, de symbole $\text{Pa}$.

Exemple

Les molécules d’un liquide ou d’un gaz contenues dans une bouteille rebondissent sur les parois.

Force pressante d’un fluide en milieu clos (bouteille en verre)

La force pressante appliquée est perpendiculaire à la paroi. Sa valeur ne dépend pas de l’orientation de l’obstacle rencontré.

À retenir

La pression atmosphérique est la pression exercée par l’air sur nous, sur le sol, ou la surface de la mer : elle vaut $10^5\ \text{Pa}$ en moyenne au niveau de la mer.

Exemple

Considérons par exemple une surface $S=0,1\ \text{m}^2$ sur laquelle s’exerce de manière uniforme une pression $P=100\ \text{Pa}$.

La force pressante ainsi exercée sur cette surface est perpendiculaire à la surface et sa norme vaut :
$$\begin{aligned} F&=P\times S \\ &= 100\times0,1 \\ &= 10\ \text{N} \end{aligned}$$

La température

On peut mesurer la température de l’air d’une pièce avec un thermomètre. Si on y allume un radiateur, la température de l’air est d’abord plus élevée près du radiateur. Au bout d’un certain temps, elle est la même partout.

À l’échelle microscopique, les molécules d’air se déplacent et entrent en collision les unes avec les autres. Elles échangent alors de l’énergie : les molécules de l’air « chaud » fournissent de l’énergie aux molécules de l’air « froid ». Ces dernières deviennent de l’air « chaud » à leur tour et la température augmente dans toute la pièce de proche en proche.

• Les particules sont en mouvement même sans que le fluide s’écoule : c’est l’agitation thermique.

Dans ce mouvement aléatoire, chaque molécule change souvent de direction et, au final, s’éloigne peu de son point de départ. Dans l’exemple précédent, les particules ayant le plus d’énergie constituent l’air plus chaud.

Définition

Température :

La température d’un fluide représente le niveau d’agitation thermique des particules le constituant. L’agitation thermique est un déplacement aléatoire des particules, d’autant plus rapide que la température est élevée.

Les échelles de température

Il existe plusieurs échelles pour mesurer la température :

• l’échelle Celsius, dont l’unité est le degré Celsius (noté $\degree\text{C}$), définie par deux références ;
• l’échelle Kelvin, dont l’unité est le kelvin (noté $\text{K}$), définie à l’aide d’une référence et d’une unité ;
• citons aussi l’échelle Fahrenheit, utilisée notamment aux États-Unis, dont l’unité est le degré Fahrenheit (noté $\degree\text{F}$).

À retenir

L’échelle Celsius est définie par deux changements d’état de l’eau pure, observés à l’altitude du niveau de la mer. On note :

• $0\,\degree\text{C}$ la température à laquelle la glace fond ;
• $100\,\degree\text{C}$ la température à laquelle l’eau bout.

Attention

La présence de sel dans l’eau, par exemple, modifie les températures des changements d’état : la glace d’eau salée fond à une température inférieure à $0\,\degree\text{C}$. L’altitude importe aussi, par exemple, l’eau bout à $80\,\degree\text{C}$ environ au sommet du mont Blanc.

À retenir

Pour définir l’échelle Kelvin, l’unité choisie est la même que celle de l’échelle Celsius. Ainsi, si la température d’un milieu augmente de $1\,\degree\text{C}$, elle augmente aussi de $1\ \text{K}$.
On note $0\ \text{K}$ la température à laquelle il n’y a pas d’agitation thermique.

• La température mesurée en kelvin est proportionnelle à l’énergie d’agitation thermique.

Définition

Zéro absolu :

On appelle zéro absolu l’absence d’agitation thermique.
La matière ne peut pas exister à une température inférieure au zéro absolu.

Astuce

La relation entre la température $T$ d’un milieu en kelvin et sa température $\theta$ en degré Celsius est : $\theta=T-273,15$.

• En particulier, la température au zéro absolu vaut $0\ \text{K}=-273,15\,\degree\text{C}$.

Description des fluides au repos

Les gaz et les liquides sont tous deux des fluides, mais réagissent différemment, notamment, à la pression.

Fluide incompressible – fluide compressible

Considérons deux exemples :

• Un glaçon dans un verre d’eau exerce une force sur l’eau, qui se déplace. Le niveau d’eau monte, mais le volume qu’elle occupe ne change pas. Ainsi, la masse volumique de l’eau dans le verre ne change pas : on dit que l’eau est incompressible.
• En regonflant le pneu d’un vélo, on « range » de plus en plus d’air, en exerçant une pression croissante, dans le volume fixe de la chambre à air. Le nombre de molécules contenues dans ce volume fixe augmente : la masse volumique de l’air dans la chambre à air augmente.

Définition

Fluide incompressible :

Un fluide est dit incompressible si son volume reste constant malgré les forces extérieures qui s’exercent sur lui.
Ainsi, sa masse volumique ne dépend pas de la pression qui s’y exerce.

En général, un liquide est incompressible, mais un gaz ne l’est pas.

Loi de Boyle-Mariotte pour les gaz

Étudions d’abord le cas d’un fluide compressible : un gaz.

À l’échelle microscopique, les particules d’un gaz sont très éloignées les unes des autres. Elles ont la place de se serrer sous l’effet d’une force pressante extérieure : le volume occupé par le gaz diminue.
Si l’agitation thermique des particules reste constante, leurs collisions deviennent alors plus fréquentes : la pression du gaz augmente.

À retenir

• À température constante, si le volume occupé par un gaz diminue, sa pression augmente.
• À température constante, si le volume occupé par un gaz augmente, sa pression diminue.
• Plus précisément, à température constante, le produit $P\times V$ est constant : c’est la loi de Boyle-Mariotte.

Attention

• La quantité de gaz considérée doit être constante.
• La loi de Boyle-Mariotte se vérifie pour de faibles pressions.
• Elle dépend également de la nature du gaz.

Exemple

Considérons un récipient cylindrique fermé par un piston.

Récipient cylindrique fermé par un piston

Le piston, de section $S=0,1\ \text{m}^2$, n’est pas bloqué.

Initialement, il est immobile, donc les forces pressantes exercées à droite et à gauche sont égales.
La pression de l’air à l’intérieur est donc égale à la pression atmosphérique $P_1=10^5\ \text{Pa}$.
L’air dans le piston occupe alors un volume $V_1=5\times10^{-4}\ \text{m}^3$.

Une force supplémentaire $F=100\ \text{kN}$ est exercée à droite.
La pression totale à droite vaut donc :
$$\begin{aligned} P_2&=P_1+\dfrac{F}{S} \\ &=10^5+\dfrac{10^{5}}{10^{-1}} \\ &=1,1\times10^6\ \text{Pa} \end{aligned}$$

Le piston se déplace vers la gauche jusqu’à ce que la pression à gauche soit égale à $P_2$.
On mesure la température de l’air intérieur : elle n’a pas changé.

• D’après la loi de Boyle-Mariotte, l’air occupe alors le volume :

$$\begin{aligned} V_2&=V_1\times\dfrac{P_1}{P_2} \\ &=5\times10^{-4}\times\dfrac{10^5}{1,1\times10^6} \\ &\approx4,55\times10^{-5}\ \text{m}^3 \end{aligned}$$

Loi de la statique des fluides appliquée aux fluides incompressibles

Étudions maintenant le cas d’un fluide incompressible.
Considérons de l’eau contenue dans une éprouvette de section $S$ et de hauteur totale $z_0$.

La force pressante totale exercée sur les molécules d’eau à une altitude $z_1$ est égale au poids de tout ce qui se trouve au-dessus : l’eau et l’atmosphère.
De même pour la force pressante exercée sur les molécules d’eau à une altitude $z_2>z_1$.
Comme il y a moins d’eau au-dessus de ces dernières, la force pressante est plus faible.

• La différence entre les deux forces pressantes est le poids de l’eau compris entre les altitudes $z_1$ et $z_2$ :

$$F(z_1)-F_(z_2)=g\times\rho_\text{eau}\times(z_2-z_1)\times S$$

• La différence entre les pressions aux altitudes $z_1$ et $z_2$ est égale à la différence des forces pressantes exercées, divisée par la section S :

$$P(z_1)-P(z_2)=g\times\rho_\text{eau}\times(z_2-z_1)$$

À retenir

La loi de la statique des fluides décrit l’évolution de la pression en fonction de l’altitude.
Pour un fluide incompressible de masse volumique $\rho$, avec $g$ la constante de pesanteur, la différence entre les pressions mesurées à deux altitudes $z_1$ et $z_2$ s’écrit :
$$P(z_1)-P(z_2)=g\times\rho\times(z_2-z_1)$$

Exemple

Considérons l’eau d’un lac de retenue.

Eau d’un lac de retenue

Juste sous la surface, à une profondeur $z_1=0\ \text{m}$, la pression de l’eau est égale à la pression atmosphérique $P_1=10^5\ \text{Pa}$.

• D’après la loi de la statique des fluides, la pression de l’eau à la profondeur $z_2=-10\ \text{m}$ vaut :

$$\begin{aligned} P_2&=P_1+g\times\rho_\text{eau}\times(z_1-z_2) \\ &=10^5+10\times10^3\times\big(0-(-10)\big) \\ &=2\times10^5\ \text{Pa} \end{aligned}$$

Considérons la force exercée par l’eau sur une surface $S=1\ \text{m}^2$ du barrage.
Cette force vaut :

• $F_1=P_1\times S=10^5\ \text{N}$ juste sous la surface ;
• $F_2=P_2\times S=2\times10^5\ \text{N}$ à la profondeur $z_2$.

La force exercée est perpendiculaire à la surface du barrage.

Attention

Cette écriture rend assez bien compte de l’évolution de la pression dans l’eau jusqu’à $10\ \text{km}$ de profondeur.
On peut aussi estimer la pression atmosphérique en altitude jusqu’à $5\ \text{km}$ environ, car la masse volumique de l’air varie très peu sur cette hauteur.