Cours : Les identités remarquables

Développement et factorisation (rappels)

À retenir

Développer, c’est transformer un produit de facteurs en une somme (ou différence) de termes, en se servant de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
Avec $a$, $b$ et $c$ des réels, nous avons :

$$a(b+c)=ab+ac$$

• On distribue le facteur $a$ aux termes $b$ et $c$.

Pour développer, on peut aussi se servir de la double distributivité.

Propriété

Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre réels.
Nous avons :

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

Exemple

$x$ est un réel quelconque.

$$\begin{aligned} (\red x-\purple 2)(\green7-\blue x)&=\red x\times \green 7+ \red x\times (-\blue x)+(-\purple2)\times \green 7+(-\purple 2)\times (-\blue x) \\ &=7x-x^2-14+2x \\ &=-x^2+9x-14 \end{aligned}$$

À retenir

Factoriser, c’est transformer une somme de termes en produits de facteurs.
Avec $a$, $b$ et $c$ des réels

$$ab+ac=a(b+c)$$

• Il s’agit, en quelque sorte, de faire le chemin inverse du développement.

Pour factoriser une expression, il faut donc identifier un facteur commun à tous les termes.

Exemple

$x$ et $y$ sont des réels quelconques.

$$\begin{aligned} 3x^2-4x&=3x\times \purple x-4\purple x \\ &=\purple x(3x-4) \\ \\ \dfrac 32 x+\dfrac 12y-\dfrac 72&= \green{\dfrac 12}\times 3x+ \green{\dfrac 12}y- \green{\dfrac 12}\times 7 \\ &= \green{\dfrac 12}(3x+y-7) \end{aligned}$$

Les identités remarquables

En fonction de ce que nous souhaitons faire, il est utile de développer ou de factoriser. Et il existe des cas particuliers que nous pouvons facilement développer ou factoriser si nous savons les reconnaître.

• Il s’agit des identités remarquables.

Formules

Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$, nous avons :

• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ ;
• $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ ;
• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Démonstration

Ces identités se démontrent facilement en appliquant la double distributivité afin de développer avant de réduire.

• Par exemple, pour l’identité 1 :

$$\begin{aligned} (a+b)^2&=(a+b)(a+b) \\ &=a^2+ab+ba+b^2 \\ &=a^2+2ab+b^2 \end{aligned}$$

Illustration géométrique

Nous allons donner ici une illustration géométrique de la première identité.
Pour cela, nous allons considérer que $a$ et $b$ sont des réels positifs.

Regardons le grand carré et calculons son aire $A$.

• D’une part, ses côtés mesurent $a+b$.
• Son aire vaut donc : $A=(a+b)^2$.
• D’autre part, il peut être décomposé en plusieurs figures :
• un carré de côté $a$ et d’aire $a^2$ ;
• deux rectangles, chacun de longueur $a$ et de largeur $b$, et d’aire $ab$.
• un carré de côté $b$ et d’aire $b^2$ ;
• L’aire du grand carré vaut donc : $A = a^2+2ab+b^2$.
• Nous pouvons donc conclure : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Développer et factoriser avec les identités remarquables

Nous avons donc découvert les trois identités remarquables à retenir. Nous allons maintenant nous en servir pour développer et factoriser des expressions.

Développer

• Développons : $(x + 5)^2$.

Nous reconnaissons l’identité remarquable 1 : $(a + b)^2$, avec $a=x$ et $b=5$.

• Nous nous en servons pour développer :

$$\begin{aligned} (x + 5)^2&=x^2+2x\times{5}+5^2 \\ &=x^2+10x+25 \end{aligned}$$

• Développons : $(6x-2)^2$.

Nous reconnaissons l’identité remarquable 2 : $(a-b)^2$, avec $a=6x$ et $b=2$.

• Nous nous en servons pour développer :

$$\begin{aligned} (6x-2)^2&= (6x)^2-2\times{6x}\times{2}+2^2 \\ &=36x^2-24x+4 \end{aligned}$$

• Développons : $(2x-3)(2x+3)$.

Nous reconnaissons l’identité remarquable 3 : $(a+b)(a-b)$, avec $a=2x$ et $b=3$.

• Nous nous en servons pour développer :

$$\begin{aligned} (2x-3)(2x+3)&= (2x)^2-3^2 \\ &=4x^2-9 \end{aligned}$$

Factoriser

• Factorisons : $A=x^2+6x+9$.

Cette expression nous fait penser à l’identité remarquable 1, avec $a^2+2ab+b^2$.
Réécrivons $A$ pour voir si on peut faire apparaître les termes sous la forme qui nous intéresse :

$$A=\purple x^2+2\times \purple x\times \green 3+\green 3^2$$

• C’est bien le cas, nous pouvons donc factoriser $A$ en nous servant de l’identité remarquable 1, avec $a=x$ et $b=3$ :

$$A=(\purple x + \green 3)^2$$

Astuce

Soit $B=-x^2-6x-9$.
Nous ne voyons ici que des signes moins et pourrions ne pas reconnaître l’identité remarquable 1.

• Mais il suffit d’écrire :

$$B=-(x^2+6x+9)$$

Ce que nous venons de faire, en « sortant » le signe moins, revient à factoriser par $-1$.
Nous reconnaissons maintenant, entre les parenthèses, l’expression $a^2+2ab+b^2$.

• Nous pouvons donc factoriser :

$$B=-(x+3)^2=-A$$

• Factorisons $C=16x^2-8x+1$.

Cette expression nous fait penser à l’identité remarquable 2, avec $a^2-2ab+b^2$.
Réécrivons $C$ pour voir si on peut faire apparaître les termes sous la forme qui nous intéresse :

$$\begin{aligned} C&=4^2\times x^2-2\times 4x\times 1+1^2 \\ &=(\purple{4x})^2-2\times \purple{4x}\times \green 1+\green 1^2 \end{aligned}$$

• C’est bien le cas, nous pouvons donc factoriser $C$ en nous servant de l’identité remarquable 1, avec $a=4x$ et $b=1$ :

$$C=(\purple{4x}-\green 1)^2$$

Astuce

Soit $D=-16x^2+8x-1$.
Nous pourrions ici ne pas reconnaître l’identité remarquable 2.

• Mais il suffit d’écrire :

$$D=-(16x^2-8x+1)$$

Nous reconnaissons maintenant, entre les parenthèses, l’expression $a^2-2ab+b^2$.

• Nous pouvons donc factoriser :

$$D=-(4x-1)^2=-C$$

• Factorisons : $E=16x^2-1$.

Nous remarquons que $16x^2=(4x)^2$. Donc :

$$E=(\purple{4x})^2-\blue 1^2$$

Nous reconnaissons l’identité remarquable 3, avec $a=4x$ et $b=1$.

• Nous pouvons donc factoriser :

$$E=(\purple{4x}+\blue 1)(\purple{4x}-\blue 1)$$

• Factorisons : $F=4x^2-(16x^2+24x+9)$.

Nous terminons par un exemple un peu plus difficile.

Nous pouvons être tentés d’opérer ainsi :

$$\begin{aligned} F&=4x^2-16x^2-24x-9 \\ &=-12x^2-24x-9 \\ &=\red{-3}\times 4x^2+\red{(-3)}\times 8x+\red{(-3)}\times 3 \\ &=\red{-3}(4x^2+8x+3) \end{aligned}$$

Nous ne reconnaissons pas ici d’identité remarquable et nous arrêtons là, car nous ne savons pas (encore) factoriser $4x^2+8x+3$.

Mais nous nous disons que l’expression initiale de $F$ n’a pas été donnée ainsi pour rien…
En effet, regardons l’expression entre parenthèses :

$$16x^2+24x+9 =(4x)^2+2\times 4x\times 3+3^2$$

Nous reconnaissons ici l’identité remarquable 1. Nous avons donc :

$$16x^2+24x+9=(4x+3)^2$$

Exprimons maintenant $F$ avec ce dernier résultat :

$$F=4x^2-(4x+3)^2$$

Nous remarquons cette fois que $4x^2=(2x)^2$. Donc :

$$F=(\purple{2x})^2-(\blue{4x+3})^2$$

Nous reconnaissons l’identité remarquable 3, avec $a=2x$ et $b=4x+3$.

• Nous pouvons donc factoriser :

$$\begin{aligned} F&=(\purple{2x}+\blue{4x+3})\big(\purple{2x}-(\blue{4x+3})\big) \\ &=(6x+3)(-2x-3) \end{aligned}$$

• Nous pouvons factoriser encore :

$$\begin{aligned} F&=(\green 3\times 2x+\green 3\times 1)(\red -2x \red-3) \\ &=\red- \green 3(2x+1)(2x+3) \end{aligned}$$

Astuce

Pour nous convaincre de cette expression factorisée finale, développons-la :

$$\begin{aligned} F&=-3(2x\times 2x+2x\times 3+1\times 2x+1\times 3) \\ &=-3(4x^2+6x+2x+3) \\ &=-3(4x^2+8x+3) \end{aligned}$$

Nous trouvons bien le même résultat que plus haut.