Fiche de révision : La fonction inverse

Fonction inverse

• Fonction inverse :

La fonction qui à tout nombre réel $x$ non nul associe son inverse $\dfrac{1}{x}$ est appelée fonction inverse. Elle est définie sur $\mathbb R^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

• Représentation graphique :

• La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.
• La courbe représentative de la fonction inverse ne coupe pas l’axe des abscisses.
• Il n’y a aucun point d’abscisse $0$ sur la courbe de la fonction inverse puisque cette fonction n’est pas définie en $0$.
• Propriétés :
• La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine $0$ du repère. Pour tout réel $a$ on a : $$f(-a)=\dfrac{1}{-a}=-\dfrac{1}{a}=-f(a)$$
• Variation de la fonction inverse : la fonction inverse est décroissante sur l’intervalle $]-\infty\ ;\ 0[$ et décroissante sur $]0\ ;+\infty[$.
• On dit que la fonction inverse inverse l’ordre sur $]-\infty ;\ 0[$ et sur $]0\ ;+\infty[$.
• La fonction inverse n’est pas définie en $0$. On dit que $0$ est une valeur interdite.

Résolution d’équations et d'inéquations

Résolution d’équations du type $\dfrac{1}{x}=k$, avec $k \in \mathbb R^*$, et d’inéquations du type $\dfrac{1}{x}< k$ ; $\dfrac{1}{x} \leq k$ ; $\dfrac{1}{x} > k$ ou $\dfrac{1}{x} \geq k$, avec $k \in \mathbb R$.

• Tracer la représentation graphique de la fonction inverse et la droite d’équation $y=k$ parallèle à l’axe des abscisses.
• Repérer le point d’intersection entre les deux représentations.
• On s’intéresse ensuite :
• pour les équations, à l’abscisse de ce point qui sera solution ;
• pour les inéquations, aux abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée (strictement) inférieure ou supérieure, en fonction de l’inéquation, à $k$ et cet intervalle formera l’ensemble des solutions.