Intégration

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Pour retrouver le cours correspondant de la spécialité « Mathématiques » :

Introduction :

Dans ce cours de l’option « Mathématiques complémentaires », nous allons aborder la notion de calcul intégral. Ce type de calcul permet de mesurer des grandeurs (aires, volumes…) et permettra également, dans le supérieur, de déterminer des probabilités et des statistiques.

Intégrale d’une fonction continue positive

Commençons par définir l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle.

Définitions et vocabulaire

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Définition

Unité d’aire :

Dans un repère orthogonal $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, l’unité d’aire (notée $\text{u.a.}$) est l’aire du rectangle $OIKJ$, où $K$ est le point de coordonnées $(1\ ;\,1)$.

Alt terminale option mathématiques complémentaires intégration unité d’aire

À partir de cette notion d’unité d’aire, on peut exprimer l’aire d’autres figures géométriques.

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Exemple

L’aire du rectangle $ABCD$ sur l’image ci-dessus est de $4\ \text{u.a.}$

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Définition

Intégrale d’une fonction positive :

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$, avec $a < b$, et $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine $\mathscr D$ délimité par la courbe $\mathscr C$, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation $x=a $ et $x=b$.

  • Elle se note ainsi :

$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$$

  • On parle aussi d’aire sous la courbe $\mathscr C$ sur l’intervalle $[a\ ;\,b]$.

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Astuce

On constate donc que, pour toute fonction continue et positive sur $[a\ ;\,b]$, $\int_a^b f(x) \text{d}x$ est un nombre réel positif ou nul.

Précisons aussi que, dans la notation donnée :

  • $a$ et $b$ sont les bornes de l’intégrale ;
  • $x$ est la variable d’intégration et peut être remplacée par n’importe quelle autre lettre, si celle-ci n’est pas utilisée ailleurs, et $\text{d}x$ indique que la variable est $x$.
  • Ainsi, par exemple, les deux expressions suivantes sont égales :

$$\int_a^b f(t)\text{d}t = \int_a^b f(x) \text{d}x$$

Si $f$ est une fonction continue et positive, il résulte alors de la définition précédente de l’intégrale deux propriétés.

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Propriété

$f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $I$.
$a$, $b$ et $c$ sont des réels de $I$.

  • Intervalle de longueur nulle :

$$\int_a^a f(x) \text{d}x=0$$

  • Relation de Chasles, ou additivité des aires :

$$\int_a^b f(x) \text{d}x=\int_a^c f(x) \text{d}x+\int_c^b f(x) \text{d}x$$

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Exemple

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$. On donne :

$$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{1}^2 f(x)\text d x}&=3 \\ \displaystyle{\int_{-4 }^1 f(x) \text{d}x}&=5 \end{aligned}$$

  • Nous avons alors :

$$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-4}^2 f(x) \text{d}x}&=\displaystyle{\int_{-4}^1 f(x) \text{d}x}+\displaystyle{\int_1^2 f(x)\text{d}x} \\ &=5+3 \\ &=8 \end{aligned}$$

Calcul d’une intégrale d’une fonction continue positive

Le cours précédent nous a fait découvrir la notion de primitives d’une fonction. Elle va nous servir pour calculer une intégrale.

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Propriété

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$.

  • La fonction $F_a$ définie sur $[a\ ;\,b]$ par $F_a(x) = \int_a^x f(t) \text{d}t$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$.
  • Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[a\ ;\ b]$, alors :

$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}=F(b)-F(a)$$

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Astuce

Nous pouvons aussi noter :

$$\begin{aligned} \int_a^b f(x) \text{d}x&=\big[F(x)\big]_a^b \\ &=F(b)-F(a) \end{aligned}$$

Démontrons que la fonction $F_a$ définie ci-dessus est bien une primitive de la fonction $f$ qui s’annule en $a$.

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Démonstration

  • On considère :
  • une fonction $f$ positive et croissante sur $[a\ ;\,b]$,
  • une fonction $F_a$ :

$$\begin{aligned} F_a\, :\,[a\ ;\,b] &\to \mathbb{R} \\ x&\mapsto \int_a^x f(t) \text{d}t \end{aligned}$$

  • D’après la définition de l’intégrale, $F_a(x)$ est l’aire de la surface hachurée ci-dessous.

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  • On calcule le taux de variation de $F_a$ en $x$ dans le cas où $h$ est un réel strictement positif (avec $x + h \leq b$).

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$f$ est croissante sur $[x\ ;\,x+h]$, on constate sur l’image que l’aire qui représente $F_a(x+h)-F_a(x)$ est comprise entre deux rectangles de largeur $h$, et chacun de hauteur respective $f(x)$ et $f(x+h)$, donc :

$$\begin{aligned} h \times f(x) &\leq F_a(x+h) - F_a(x) \leq h \times f(x + h) \\ \\ \textcolor{#BF1280}{\text{$f(x)$}} &\textcolor{#BF1280}{\text{$\leq \dfrac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \leq f(x + h) \longrightarrow$ inégalité $(1)$}} \end{aligned}$$

  • On calcule le taux de variation de $F_a$ en $x$ dans le cas où $h$ est un réel strictement négatif (avec $a \leq x + h$).

Alt terminale option mathématiques complémentaires intégration

$f$ est croissante sur $[x+h\ ;\,x]$, on constate sur l’image que l’aire qui représente $F_a(x)-F_a(x+h)$ est comprise entre deux rectangles de largeur $-h$, et chacun de hauteur respective $f(x+h)$ et $f(x)$, donc :

$$\begin{aligned} -h \times f(x+h) &\leq F_a(x) - F_a(x+h) \leq -h \times f(x)\\ \\ f(x+h) &\leq \dfrac{F_a(x) - F_a(x+h)}{-h} \leq f(x)\\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[ici, le sens des inégal}}} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ités ne change pas car $-h$ est un nombre positif]}}}\\ \textcolor{#BF1280}{\text{$f(x+h)$}} &\textcolor{#BF1280}{\text{$\leq \dfrac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \leq f(x) \longrightarrow$ inégalité $(2)$}} \end{aligned}$$

  • On en déduit la dérivée de $F_a(x)$ lorsque $h$ tend vers $0$.
  • $f$ est continue sur $[a\ ;\ b]$, donc $\lim\limits_{h \to 0} f(x+h) = f(x)$.
  • Ainsi, d’après les $\textcolor{#BF1280}{\text{inégalités $(1)$ et $(2)$}}$, en passant à la limite quand $h$ tend vers $0$, on obtient par encadrement :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} &= f(x)\\ F_a^{\prime}(x) &= f(x)\ \text{pour}\ x \in [a\ ;\ b] \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[d’après la définition du nombre dérivé]}}}\\ \end{aligned}$$

  • Par définition, la fonction $F_a$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a\ ;\,b]$, et elle s’annule en $a$ car :

$$F_a(a) = \int_a^a f(t) \text{d}t = 0$$

  • Ainsi, la fonction $x\mapsto F_a(x) = \int_a^x f(t) \text{d}t$ est la primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a\ ;\,b]$ qui s’annule en $a$.

Prenons maintenant un exemple de calcul.

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Exemple

Calculons l’intégrale :

$$\displaystyle{\int_1^3(4x^2+3x)\text{d}x}$$

  • La fonction $f\, :\,x \mapsto 4x^2+3x$ est continue et positive sur l’intervalle $[1\ ;\,3]$, donc son intégrale existe d’après ce qui précède.

On pose, pour tout $x \in [1\ ;\,3]$ :

$$F(x)=\dfrac{4}{3} x^3+\dfrac{3}{2} x^2$$

  • La fonction $F$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle.
  • On calcule maintenant l’intégrale :

$$\begin{aligned} \int_1^3(4x^2+3x)\text{d}x&=F(3)-F(1)\\ &=\left( \dfrac{4}{3}×3^3+\dfrac{3}{2}×3^2 \right)-\left( \dfrac{4}{3}×1^3+\dfrac{3}{2}×1^2 \right) \\ &=\left( 36+\dfrac{27}{2} \right)- \left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{3}{2} \right) \\ &=36+\dfrac {27}{2}-\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{2} \\ &=\dfrac{216}{6}+\dfrac{81}{6}-\dfrac{8}{6}-\dfrac{9}{6} \\ &=\dfrac{280}{6} \\ &=\dfrac{140}{3}\ \text{u.a.} \end{aligned}$$

Nous allons maintenant présenter une méthode d’approximation d’une intégrale.

  • Considérons une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$ ($a < b$), représentée graphiquement ci-dessous.

Approximation d'une intégrale par la méthode des rectangles Approximation d'une intégrale par la méthode des rectangles

  • Partageons l’intervalle $[a\ ;\,b]$ en $n$ intervalles de même longueur, où $n$ est un entier naturel plus grand que $2$.
  • Le but est que $n$ soit le plus grand possible pour approcher le plus possible la courbe représentative de la fonction $f$.
  • Pour tout $i\in \lbrace 1,\, 2,\, …,\, n\rbrace$, plaçons les abscisses $x_i$ et les points $A_i$, $A^{\prime}_i$ et $A^{\prime\prime}_i$ d’abscisse $x_i$, et les points $A_{i+1}$, $A^{\prime}_{i+1}$ et $A^{\prime\prime}_{i+1}$ d’abscisse $x_{i+1}$, comme indiqué sur le graphique.

Pour tout $i\in {1 ; 2 ; … ; n}$ :

  • l’aire du rectangle $A_i A^{\prime}_i A^{\prime}_{i+1} A_{i+1}$ est :

$$(x_{i+1} - x_i) f(x_i)$$

  • l’aire du rectangle $A_i A^{\prime\prime}_i A^{\prime\prime}_{i+1} A_{i+1}$ est :

$$(x_{i+1} - x_i) f(x_{i+1})$$

  • la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[x_i\ ;\,x_{i+1}]$, donc l’intégrale $\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(t) \text{d} t$ est égale (en $\text{u.a.}$) à l’aire du domaine compris entre la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = x_i$ et $x = x_{i+1}$.
  • $(x_{i+1} - x_i) f(x_i)$ ou $(x_{i+1} - x_i) f(x_{i+1})$ sont donc des valeurs approchées de l’intégrale :

$$\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(t) \text{d} t$$

  • En faisant la somme des aires des rectangles ainsi définis, nous obtenons, pour $\int_a^b f(t) \text{d} t$, les valeurs approchées :

$$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1} - x_i) f(x_i) &= u_n \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{ou\ :\ }} \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1} - x_i) f(x_{i+1}) &= v_n \end{aligned}$$

  • Comme nous avons partagé $[a\ ;\,b]$ en $n$ intervalles de même longueur, nous avons, pour tout $i\in \lbrace 1,\, 2,\, …,\, n\rbrace$ :

$$x_{i+1} - x_i = \dfrac{b-a}{n}$$

  • Nous obtenons ainsi :

$$\begin{aligned} u_n &=\sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{b-a}{n}f(x_i) \\ &= \dfrac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en factorisant par $\frac {b-a}{n}$]}}} \\ &= \dfrac{b-a}{n} \big(f(x_0) + f(x_1) + … + f(x_{n-1})\big) \\ \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{De même\ :\ }}v_n &= \dfrac{b-a}{n} (f(x_1) + f(x_2) + … + f(x_n)) \end{aligned}$$

  • Cette méthode d’approximation d’une aire est appelée la méthode des rectangles.
  • En faisant tendre $n$ tend $+\infty$, on peut se rapprocher de plus en plus (en utilisant la suite $(u_n)$ ou la suite $(v_n)$, ou les deux) de la valeur de cette aire qui est égale (en $\text{u.a.}$) à :

$$\int_a^b f(t) \text{d} t$$

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Définition

Nous allons maintenant définir l’intégrale d’une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle, donc dans le cas général, à l’aide des primitives de cette fonction.

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Définition

Intégrale d’une fonction continue :

Si $f$ est une fonction continue sur l’intervalle $I$, si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $a$ et $b$ sont deux réels quelconques de $I$, alors on appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ la différence $F(b)-F(a)$.

  • Cette intégrale est toujours notée :

$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$$

Propriétés

Donnons quelques propriétés, qui nous permettront de calculer de nombreuses intégrales.

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Propriété

Soit $f$ et $g$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$, $b$ et $c$ des réels quelconques de $I$ et $k$ un réel.

  • On a les propriétés suivantes :

$$\begin{aligned} \int_a^a f(x) \text{d}x&=0 \\ \int_b^a f(x) \text{d}x&=-\int_a^b f(x) \text{d}x \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Linéarité\ :\ }}\int_a^b k f(x) \text{d}x&=k\int_a^b f(x) \text{d}x \\ \int_a^b\big(f(x)+g(x)\big) \text{d}x&=\int_a^b f(x) \text{d}x+\int_a^b g(x) \text{d}x \end{aligned}$$

  • Relation de Chasles

Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ tels que $a\leq c\leq b$ :

$$\int_a^b f(x) \text{d}x=\int_a^c f(x) \text{d}x+\int_c^b f(x) \text{d}x$$

  • Positivité de l’intégrale

$a$ et $b$ sont maintenant deux réels de $I$ tels que $a < b$.

  • Si $f(x)\geq0$ pour tout $x$ de $[a\ ;\,b]$, alors :

$$\int_a^b f(x) \text{d}x\geq0$$

  • Si $f(x)\geq g(x)$ pour tout $x$ de $[a\ ;\ b]$, alors :

$$\int_a^b f(x) \text{d}x\geq \int_a^b g(x) \text{d}x$$

Exemple

Regardons comment appliquer ces propriétés dans le calcul d’une intégrale.

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Exemple

Nous cherchons à calculer les intégrales suivantes :

$$\begin{aligned} I&=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2} \text{d}x \\ J&=\int_0^1 \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \text{d}x \end{aligned}$$

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Attention

On constate que l’on ne va pas pouvoir directement calculer l’intégrale $J$, puisqu’il est impossible de calculer une primitive de $x\mapsto \dfrac{2}{e^x+2}$ avec les formules classiques.

  • Nous allons donc calculer $I$, puis $I+J$, pour en déduire $J$.
  • Calculons l’intégrale $I$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\ ;\,1]$ par :

$$f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}$$

$f$ est de la forme $\frac{u^{\prime}}{u}$, où $u(x) = \text{e}^x + 2>0$, donc une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\,1]$ sera de la forme $\ln{(u)}$ :

$$F(x)= \ln{(\text{e}^x + 2)}$$

  • Nous pouvons ainsi calculer $I$ :

$$\begin{aligned} I& =\int_0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}\text{d}x\\ &=F(1)-F(0)\\ &=\ln {(\text{e}^1+2)}-\ln {(\text{e}^0+2)} \\ &= \ln {(\text{e}+2)} - \ln {(3)}\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\text{e}^0=1$]}}} \end{aligned}$$

  • Calculons l’intégrale $I+J$.

Nous avons :

$$\begin{aligned} I+J&=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2} \text{d}x +\int_0^1 \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \text{d}x \\ &= \int_0^1 \left( \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}+ \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \right) \text{d}x\\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[d’après la propriété de linéarité]}}} \\ &=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^x+2}{\text{e}^x+2} \text{d}x \\ &=\int_0^1 1 \text{d}x \\ &=G(1)-G(0)\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[en prenant $G(x)=x$]}}} \\ &=1-0\\ &=1 \end{aligned}$$

  • On a donc : $I+J=1$.
  • Trouvons maintenant la valeur de l’intégrale $J$.

On a $I+J=1$.

  • On en déduit la valeur de l’intégrale $J$ :

$$\begin{aligned}J&=1-I\\ &=1-\big(\ln {(\text{e}+2)} -\ln {(3)}\big)\\ &=1- \ln {(\text{e}+2)} +\ln {(3)} \\ &=1-\ln\left(\dfrac{\text{e}+2}{3}\right) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\ln{(a)} -\ln{(b)}= \ln\left(\frac ab\right)$]}}} \end{aligned}$$

Applications du calcul intégral

Nous savons maintenant comment calculer une intégrale. Regardons deux exemples d’application des intégrales, pour mieux comprendre à quoi elles servent, notamment pour le calcul d’une aire.

Calculer une aire à l’aide d’une intégrale

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Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b $.

Soit $\mathscr E$ la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_f$ représentant $f$ et les droites d’équation $x=a $ et $x=b$.

  • Si $ f\geq0$ sur $I$, alors :

$$\text{Aire}(\mathscr E)= \int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}$$

  • Si $f\leq0$, alors :

$$\text{Aire}(\mathscr E)=- \int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}$$

Alt terminale option mathématiques complémentaires intégration

Sur le graphique, on peut constater que sur l’intervalle $[a\ ;\,c]$, la fonction $f$ est positive (sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses).

  • L’aire $A_1$ sera donc égale à :

$$\int_a^c f(x) \text{d}x$$

En revanche, sur l’intervalle $[c\ ;\,b]$, la fonction $f$ est négative (sa courbe est en dessous de l’axe des abscisses).

  • L’aire $A_2$ sera donc égale à :

$$-\int_c^b f(x) \text{d}x$$

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Attention

On retiendra qu’une intégrale peut être positive ou négative, mais qu’une aire, elle, est toujours positive.

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Propriété

Soit $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que $f(x)\leq g(x) $ sur $I$, et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a\leq b$.

  • Alors l’aire de la surface comprise entre les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ est égale à :

$$\int_a^b\big(g(x)-f(x)\big) \text{d}x$$

Alt texte

Valeur moyenne d’une fonction

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Définition

Valeur moyenne d’une fonction :

Si $f$ est une fonction continue sur $[a\ ;\,b]$, avec $a \neq b$ et $a<b$, on appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a\ ;\ b]$ le réel :

$$\mu= \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \text{d}x$$

Étudions un exemple pour mieux comprendre cette nouvelle notion.

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Exemple

Alt terminale option mathématiques complémentaires intégration

Ici, la fonction $f$ est positive sur $[a\ ;\,b]$, on interprète la valeur moyenne de la manière suivante : l’aire « sous la courbe » de $f$ est égale à l’aire « sous la courbe » de la fonction constante égale à $\mu$.

  • Sur notre schéma, l’aire rouge est égale à l’aire hachurée en bleu.

Nous allons maintenant, à travers un exemple, interpréter une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline.

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Exemple

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0\ ;\, 20]$ par :

$$f(x) = 1\,000 \times (x+5) \times \text{e}^{-0,2x}$$

Cette fonction est la fonction de demande d’un produit.

  • Le nombre $f(x)$ représente la quantité d’objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à $x \text{ euros}$.
  • On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0\ ;\, 20]$ par :

$$F(x) = -5\,000\times (x + 10) \times \text{e}^{-0,2x}$$

Montrons que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\, 20]$.

Soit $x\in [0\ ;\, 20]$. Nous avons alors :

$$\begin{aligned} F^{\prime}(x) &= -5\,000 \times \big(1\times \text{e}^{-0,2x} - 0,2\times (x + 10)\times \text{e}^{-0,2x}\big) \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ et $(\text{e}^w)^{\prime}=w^{\prime}\text{e}^w$]}}} \\ &=-5\,000 \times \big(1 - 0,2\times (x + 10)\big) \times \text{e}^{-0,2x} \\ &= \big(1\,000\times (x + 10) - 5\,000\big)\times \text{e}^{-0,2x} \\ &= \big(1\,000\times (x + 10) - 1\,000 \times 5\big) \times \text{e}^{-0,2x} \\ &= 1\,000\times (x + 10 - 5) \times \text{e}^{-0,2x} \\ &= 1\,000\times (x + 5) \text{e}^{-0,2x} \\ &= f(x) \end{aligned}$$

  • La fonction $F$ est donc bien une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\, 20]$.
  • Déterminons la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2\ ;\, 8]$.

D’après la définition que nous venons de voir, la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2\ ;\,8]$ est :

$$\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{8-2}\times \int_2^8 f(x) \text{d} x \\ &= \dfrac{1}{6}\times \big[F(x)\big]_2^8 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $F$ est une primitive de $f$ sur $[2\ ;\, 8]$]}}} \\ &= \dfrac{1}{6}\times \big(F(8) - F(2)\big) \\ &= \dfrac{1}{6} \times \big(-5\,000\times (8 +10)\times \text{e}^{-0,2 \times 8} - (-5\,000\times (2 +10)\times \text{e}^{-0,2 \times 2} )\big) \\ &= \dfrac{5\,000}{6} \times \big((2 +10)\times \text{e}^{-0,4} - (8 +10)\times \text{e}^{-1,6}\big) \\ &= \dfrac{2\,500}{3}\times (12\times \text{e}^{-0,4} - 18\times \text{e}^{-1,6}) \\ &= 2\,500\times (4\times \text{e}^{-0,4} - 6\times \text{e}^{-1,6}) \\ &\approx 3\,675\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [à l’entier près]}}} \end{aligned}$$

  • Interprétons ce résultat.

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2\ ;\, 8]$ est :

$$\mu \approx 3\,675\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [à l’entier près]}}}$$

  • Par définition de la fonction $f$, la quantité moyenne d’objets demandés, lorsque le prix unitaire est compris entre $2 \text{ euros}$ et $8 \text{ euros}$, est d’environ $3\,675$.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons commencé par définir l’intégrale de $a$ à $b$ (avec $a < b$), d’une fonction $f$ continue et positive comme étant égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine $\mathscr D$ délimité par la courbe $\mathscr C$, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation $x=a $ et $x=b$.
Nous avons ensuite défini cette intégrale lorsque $f$ est de signe quelconque comme étant égale à la différence $F(b) - F(a)$, où la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[a\ ;\,b]$.
Enfin, nous avons vu les propriétés que vérifie cette intégrale et avons défini la valeur moyenne d’une fonction continue $f$ sur $[a\ ;\ b]$.