Graphes et matrices

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Graphes non orientés

Dans cette partie, nous considérons $G$, un graphe non orienté.

Un graphe non orienté Un graphe non orienté

  • On appelle graphe non orienté un ensemble fini d’éléments, reliés ou non par une propriété commune.
  • Les éléments s’appellent les sommets du graphe.
  • Le nombre de sommets s’appelle l’ordre du graphe.
  • La relation entre deux éléments est appelée une arête. Les arêtes peuvent se parcourir dans les deux sens.
  • S’ils sont reliés entre eux par une arête, deux sommets sont adjacents.
  • Si un sommet n’est relié à aucun autre, on dit que c’est un sommet isolé.
  • Un graphe complet est un graphe où deux sommets quelconques sont toujours adjacents.
  • Dans un graphe complet, chaque sommet est relié à tous les autres.
  • Le degré d’un sommet de $G$ est le nombre d’arêtes qui relient ce sommet aux autres sommets du graphe.
  • Dans un graphe $G$ non orienté, la somme des degrés est égale au double du nombre d’arêtes et est paire.
  • Il y a un nombre pair de sommets de degré impair.
  • Une chaîne de $G$ est une suite d’arêtes consécutives.
  • Si les deux extrémités de la chaîne sont le même sommet, la chaîne est fermée.
  • La longueur d’une chaîne est le nombre d’arêtes qu’elle contient.
  • Dans un graphe non orienté, un cycle est une chaîne fermée qui ne comporte que des arêtes distinctes.
  • Si deux sommets quelconques peuvent toujours être reliés par une chaîne, alors $G$ est un graphe connexe.

Graphes orientés

Dans cette partie, nous considérons $G$, un graphe orienté.

Un graphe orienté Un graphe orienté

  • Un graphe orienté est constitué de sommets.
  • Le nombre de sommets s’appelle l’ordre du graphe.
  • Certains sommets sont reliés par des arêtes qui sont orientées : elles ne peuvent être parcourues que dans un seul sens.
  • La lecture du sens des arêtes est importante, car elle va déterminer les parcours possibles sur un graphe.
  • Dans un graphe orienté, une boucle est une arête orientée d’origine et d’extrémité identiques.
  • Le vocabulaire est proche de celui pour les graphes non orientés :
  • on parle de chaîne pour un parcours constitué d’arêtes consécutives ;
  • nous trouverons dans certains exercices le mot chemin quand le parcours est orienté ;
  • si la chaîne ou le chemin a une origine et une extrémité identiques, alors on dira que c’est une chaîne fermée, ou un chemin fermé ;
  • s’il existe un chemin fermé qui n’emprunte qu’une seule fois une arête nous parlerons parfois de circuit pour un graphe orienté (le mot est équivalent à cycle) ;
  • notons enfin que les arêtes, dans un graphe orienté, sont parfois appelées arcs.
  • Le degré d’un sommet de $G$ est le nombre d’arêtes qui relient ce sommet aux autres sommets du graphe, quel que soit leur sens de parcours.
  • Soit $S$ un des sommets de $G$.
  • Une boucle sur un sommet $S$ est considérée comme deux arêtes : en effet, elle part de $S$ et elle arrive vers $S$. Elle sera comptée $2$ fois dans le calcul du degré d’un sommet.
  • Dans un graphe orienté, la somme des degrés est égale au double du nombre d’arêtes.

Matrices d’adjacence d’un graphe

Graphe non orienté

Graphe orienté

Soit $G$ un graphe non orienté d’ordre $n$.
La matrice d’adjacence de $G$ est la matrice carrée $A$ d’ordre $n$ définie par :

Pour tous $i$ et $j$ de $\lbrace 1,\,…,\,n\rbrace$, le coefficient $a_{i,j}$ est égal au nombre d’arêtes qui relient $S_i$ et $S_j$.

Soit $G$ un graphe orienté d’ordre $n$.
La matrice d’adjacence de $G$ est la matrice carrée $A$ d’ordre $n$ définie par :

Pour tous $i$ et $j$ de $\lbrace 1,\, …,\,n\rbrace$, le coefficient $a_{i,j}$ est égal au nombre d’arêtes qui partent de $S_i$ vers $S_j$.

Pour construire la matrice d’adjacence d'un graphe non orienté :

• on choisit d’ordonner les sommets, notamment quand ils ne sont pas représentés par des nombres ;

• l’ordre du graphe est l’ordre de la matrice, donc on connaît la taille de la matrice à écrire ;

• on indique, sur chaque ligne $i$, le nombre d’arêtes qui relient le sommet $S_i$ aux autres sommets $S_j$ dans l’ordre : de $1$ à $n$.

Pour construire la matrice d’adjacence d’un graphe orienté :

• on choisit un ordre pour les sommets ; quand ils ne sont pas représentés par des nombres, on doit fixer un ordre ;

• l’ordre du graphe est l’ordre de la matrice, donc on connaît la taille de la matrice à écrire ;

• on indique, sur chaque ligne $i$, le nombre d’arêtes qui partent du sommet $S_i$ vers les autres sommets $S_j$, dans l’ordre : de $1$ à $n$.

Pour obtenir un graphe à partir d’une matrice d’adjacence :

• l’ordre de la matrice carrée donne l’ordre du graphe, donc le nombre de sommets ;

• on schématise les sommets par des points que l’on nomme avec des lettres ou des chiffres, ou en suivant les consignes de l’énoncé ;

• on utilise les coefficients $a_{i,j}$ pour relier les sommets par des arêtes, en n'oubliant pas, pour aller plus vite, que la matrice d’adjacence d'un graphe non orienté est symétrique.

Pour obtenir un graphe à partir d’une matrice d’adjacence :

• l’ordre de la matrice carrée donne l’ordre du graphe, donc le nombre de sommets ;

• on schématise les sommets par des points que l’on nomme avec des lettres ou des chiffres, ou en suivant les consignes de l’énoncé ;

• le coefficient $a_{i,j}$ donne le nombre d’arête(s) qui part(ent) du sommet $S_i$ vers le sommet $S_j$.

  • Soit $m\in \mathbb N^*$, $G$ un graphe d’ordre $n$, de sommets $S_1$, $S_2$, …, $S_{n-1}$, $S_n$, et $A$ sa matrice d’adjacence.
  • Pour tous entiers $i$ et $j$ : le nombre de chemins – ou chaînes – de longueur $m$ entre $S_i$ et $S_j$ est $(A^m )_{i,j}$.
    C’est-à dire le coefficient de la matrice $A^m$ situé à la $i\text{-ème}$ ligne et la $j\text{-ième}$ colonne.
  • Méthodologie pour déterminer le nombre de chemins de longueur $m$ entre deux sommets $S_i$ et $S_j$ :
  • trouver la matrice d’adjacence $A$ du graphe ;
  • calculer à la main, ou à la calculatrice, la matrice $A^m$ ;
  • trouver le coefficient situé à la ligne $i$ et la colonne $j$ de cette matrice.
  • Ce sera le nombre de chemins cherché.