Fonctions cosinus et sinus

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Fonction cosinus

  • La fonction $x \mapsto \cos{(x)}$ est définie sur $\mathbb{R}$.
  • La fonction cosinus est continue sur $\mathbb{R}$.
  • La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$.
  • Pour tout réel $x$ : $\cos^{\prime} {(x)} = -\sin{(x)}$.
  • Tableau de variations et courbe représentative sur $[0\ ;\,\pi]$ :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

  • La fonction cosinus est paire.
  • Pour tout réel $x$ : $f(-x) = \cos{(-x)} = \cos{(x)} = f(x)$.
  • La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$.
  • Pour tout réel $x$ réel : $f(x+2\pi)=\cos{(x+2\pi)}=\cos{(x)} =f(x)$.
  • Courbe représentative :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

Fonction sinus

  • La fonction $x \mapsto \sin{(x)}$ est définie sur $\mathbb{R}$.
  • La fonction sinus est continue sur $\mathbb{R}$.
  • La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$.
  • Pour tout réel $x$ : $\sin^{\prime} {(x)} = \cos{(x)}$.
  • Tableau de variations et courbe représentative sur $[0\ ;\,\pi]$ :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

  • La fonction sinus est impaire.
  • Pour tout réel $x$ : $f(-x) = \sin{(-x)} = -\sin{(x)} = -f(x)$.
  • La fonction sinus est périodique de période $2\pi$.
  • Pour tout réel $x$ : $f(x+2\pi)=\sin{(x+2\pi)}=\sin{(x)} =f(x)$.
  • Courbe représentative :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

Limites particulières, équations et inéquations trigonométriques

  • Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en l’infini.
  • Nous pouvons définir deux limites particulières :
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{(x)}} x= 1$ ;
  • $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos{(x)}-1} x= 0$.
  • Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, les fonctions définies par $f(x)=\cos\big(u(x)\big)$ et $g(x)=\sin\big(u(x)\big)$ sont dérivables sur $I$ :
  • $f^{\prime}(x)= -u^{\prime}{(x)} \sin\big(u(x)\big)$ ;
  • $g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\cos\big(u(x)\big)$.
  • Pour résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique, nous utilisons la courbe représentative de la fonction concernée ou, plus simplement, nous utilisons le cercle trigonométrique.
  • Par exemple, pour les résolutions suivantes avec la fonction cosinus :

$$\cos{(x)} = -\frac 12 \text{ sur } ]-\pi\ ;\,\pi]$$

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus équation

$$S = \left\lbrace -\dfrac{2\pi}{3}\ ;\,\dfrac{2\pi}{3}\right\rbrace$$

$$\cos{(x)} \leq -\frac 12 \text{sur} ]-\pi\ ;\,\pi ]$$

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$$S = \left]-\pi\ ;\,-\dfrac{2\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{2\pi}{3}\ ;\,\pi \right]$$