Limites de fonctions

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Limite à l’infini

  • Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$.
  • Une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$ donné, les images $f(x)$ sont supérieures à $A$ à partir de $x$ assez grand :

$$\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)= +\infty$$

  • Une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$ donné, les images $f(x)$ sont inférieures à $A$ à partir de $x$ assez grand :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= - \infty$$

  • On définit de la même manière les limites infinies en $-\infty$.
  • Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ réel).
  • Dire que $f$ a pour limite le réel $l$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand :

$$\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)=l$$

  • La droite d’équation $y=l$ est alors asymptote horizontale en $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.

Limite infinie en un point et asymptote verticale

  • Soit $a$ un réel et $h$ un réel positif non nul et $f$ une fonction définie sur une partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle $]a-h\ ;\,a[$ ou $]a\ ;\,a+h[$.
  • $f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout $A$, les images $f(x)$ sont supérieures à $A$ quand $x$ est suffisamment proche de $a$ :

$$\lim\limits_{x \to a}f(x)= +\infty$$

  • $f$ a pour limite $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout $A$, les images $f(x)$ sont inférieures à $A$ quand $x$ est suffisamment proche de $a$ :

$$\lim\limits_{x \to a}f(x)= -\infty$$

  • On parle de limite à gauche en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures à $a$.
  • On parle de limite à droite en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures à $a$.
  • La droite d’équation $x=a$ est alors asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$.

Déterminer une limite

$\lim\limits_{x \to +\infty} x^n= +\infty$ $n$ entier naturel
$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= +\infty$ $n$ entier naturel pair
$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= -\infty$ $n$ entier naturel impair
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac 1x = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac 1x =0$
$\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}\dfrac 1x = +\infty$
$\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0}\dfrac 1x = -\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt x= +\infty$
$ \lim\limits_{x\to -\infty} \text{e}^x =\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} =0$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^x=+\infty$
  • Avec $a$ qui peut être un réel, $-\infty$ ou $+\infty$, $l$ et $l^{\prime}$ deux réels.

$\lim\limits_{x \to a} f(x)$ $l$ $l$ $l$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$
$\lim\limits_{x \to a} g(x)$ $l^\prime$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$
$\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)+g(x)}$ $\red{l+l^\prime}$ $\red{+\infty}$ $\red{-\infty}$ $\red{+\infty}$ $\red{-\infty}$ $\red{\text{FI}}$

$\lim\limits_{x\to a} f(x)$ $l$ $l>0$ $l>0$ $l<0$ $l<0$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $0$
$\lim\limits_{x \to a} g(x)$ $l^\prime$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $\pm\infty$
$\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)\times g(x)}$ $\red{ l\times l^\prime}$ $\red {+\infty}$ $\red{-\infty}$ $\red{-\infty}$ $\red{+\infty}$ $\red{+\infty}$ $\red{-\infty}$ $\red{+\infty}$ $\red{\text{FI}}$

$\lim\limits_{x\to a} f(x)$ $l$ $l$ $+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $-\infty$ $\pm\infty$ $l$ $0$
$\lim\limits_{x \to a} g(x)$ $l^\prime\neq0$ $\pm\infty$ $l^\prime>0$ $l^\prime<0$ $l^\prime>0$ $l^\prime<0$ $\pm\infty$ $0^+_-$ $0$
$\red{\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}}$ $\red{ \dfrac l {l^\prime}}$ $\red 0$ $\red{+\infty}$ $\red{-\infty}$ $\red{-\infty}$ $\red{+\infty}$ $\red{\text{FI}}$ $\red{\pm\infty}$ $\red{\text{FI}}$
  • Il existe donc quatre formes indéterminées : $(+\infty) + (-\infty )$ ; $0\times \infty$ ; $\dfrac {\infty}{\infty}$ ; $\dfrac {0}{0}$.
  • Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.
  • Fonction composée : soit $a$, $l$ et $L$ trois nombres réels, et $f$ et $g$ deux fonctions telles que : $g\,:\,I \to J$ et $f\,:\,J \to \mathbb{R}$.
  • Si $\lim\limits_{x \to a} g(x)= l$ et $\lim\limits_{x \to l} f(x) = L$, alors :

$$\lim\limits_{x \to a} f\big(g(x)\big) = \lim\limits_{x \to a} (f\circ g)(x) = L$$

  • La propriété est aussi valable lorsque $a$, $l$ ou $L$ sont $-\infty$ ou $+\infty$.
  • Théorème de comparaison :
  • Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x)\geq g(x)$ sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= +\infty$, alors :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty$$

  • Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x)\leq g(x)$ sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)= -\infty$, alors :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f( x)= -\infty$$

  • Ces deux propriétés s’étendent aux limites en $-\infty$ et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.
  • Théorème des gendarmes :
  • Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ sur un intervalle $[a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= \lim\limits_{x \to +\infty} h( x)= l$, alors :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)=l$$

  • Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$, et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.