Cours : Étudier des grandeurs produits ou quotients

Grandeurs produits

Généralités

Définition

Grandeur produit :

Une grandeur produit est le produit de deux grandeurs.

Dans le tableau suivant, on trouve les grandeurs produits les plus couramment utilisées et les unités de mesures correspondantes.

Regardons de plus près l’aire et le volume, deux grandeurs produits que nous rencontrons régulièrement.

Aire et volume

• Une aire est le produit de deux longueurs.

$\text{côté} \times \text{côté}$, $\text{Longueur} \times \text{largeur}$, $\text{base} \times \text{hauteur}$, $\pi \times \text{rayon} \times \text{rayon}$, etc. sont des formules que nous connaissons déjà.

L’unité d’une aire est le produit de deux unités de longueurs : $\text{m} \times \text{m} = \text{m}^2$.

• Un volume est le produit d’une aire par une longueur.

Par extension, c’est aussi le produit de trois longueurs.
$\text{côté} \times \text{côté} \times \text{côté}$, $\text{Longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$, $\text{Aire}_B \times \text{hauteur}$, $\pi \times \text{rayon} \times \text{rayon} \times \text{hauteur}$, etc. sont également des formules que nous connaissons déjà.

L’unité d’un volume est le produit d’une unité d’aire par une unité de longueur : $\text{m}^2\times \text{m}=\text{m}^3$.
C’est aussi le produit de trois unités de longueurs : $\text{m} \times \text{m} \times \text{m}= \text{m}^3$.

Astuce

Le litre est également utilisé comme unité de volume. Il équivaut à $1\text{ dm}^3$ soit $\text{L} = \text{dm} \times \text{dm} \times \text{dm}$.

Une autre grandeur produit couramment utilisée est l’énergie électrique.

Énergie électrique

À retenir

L’énergie $E$ consommée par un appareil électrique de puissance $P$ pendant un temps $t$ est donnée par la formule $E=P \times t$.

L’énergie est donc bien une grandeur produit que l’on obtient en multipliant une puissance par une durée.

L’unité de l’énergie dépend des unités dans lesquelles la puissance et la durée sont exprimées :

• si la puissance est exprimée en watts et la durée en heures, l’unité de l’énergie sera exprimée en wattheure ($\text{Wh}$) ;
• si la puissance est exprimée en kilowatts et la durée en heures, l’unité de l’énergie sera exprimée en kilowattheure ($\text{kWh}$).

Exemple

On cherche à calculer l’énergie consommée par un lave-vaisselle de $1\ 200\text{ W}$ pendant une année sachant qu’il fonctionne $6$ heures par semaine.

En une semaine, cet appareil consomme $E=P \times t = 1\ 200\text{ W} \times 6\text{ h}=1\ 200 \times 6\text{ Wh}=7\ 200\text{ Wh}$.

En une année, soit $52$ semaines, cet appareil consomme $52 \times 7\ 200\text{ Wh} = 374\ 400\text{ Wh}$.

• L’énergie consommée par ce lave-vaisselle en une année est donc $E = 374\ 400\text{ Wh}$.

Grandeurs quotients

Généralités

Définition

Grandeur quotient :

Une grandeur quotient est le quotient de deux grandeurs de natures différentes.

Dans le tableau suivant, on trouve les grandeurs quotients les plus couramment utilisées et les unités de mesures correspondantes.

Attention

Le « $/$ » de l’unité de mesure d’une grandeur quotient se prononce « par ». Ainsi, $\text{km}/\text{h}$ se prononce « kilomètres par heure » et non pas « kilomètres heure » comme on l’entend souvent.

L’une des grandeurs quotients les plus utilisées dans la vie courante étant la vitesse moyenne, nous allons l’aborder maintenant.

Vitesse moyenne

Définition

Vitesse moyenne :

La vitesse moyenne $v$ d’un mobile parcourant une distance $d$ pendant un temps $t$ est donnée par la formule $v=\frac{d}{t}$.

Il est à noter que l’on a aussi $d=v \times t$ et $t=\frac{d}{v}$.

La vitesse moyenne est donc bien une grandeur quotient que l’on obtient en divisant une longueur par une durée.

L’unité de la vitesse dépend des unités dans lesquelles la distance et la durée sont exprimées :

• si la distance est exprimée en kilomètres et la durée en heures, l’unité de la vitesse moyenne sera exprimée en kilomètres par heure ($\text{km}/\text{h}$ ou $\text{km.h}^-1$) ;
• si la distance est exprimée en mètres et la durée en secondes, l’unité de la vitesse moyenne sera exprimée en mètres par seconde ($\text{m}/\text{s}$ ou $\text{m.s}^-1$).

Exemple

• On cherche à calculer la vitesse moyenne d’un véhicule qui a parcouru $297$ kilomètres en $2$ heures et $50$ minutes.

La durée ($2$ heures et $50$ minutes) doit être convertie en heures. Utilisons un tableau de proportionnalité, sachant que $60$ minutes correspondent à $1$ heure.

Durée en minutes	$60$	$50$
Durée en heures (système décimal)	$1$	$x$

Le calcul de la quatrième proportionnelle donne : $$x=\dfrac{50 \times 1}{60}=0,83$$

La durée totale du trajet est donc de $2\text{ h} + 0,83\text{ h}= 2,83\text{ h}$.

Nous pouvons maintenant utiliser la formule de la vitesse moyenne : $$v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{297\text{ km}}{2,83\text{ h}}=\dfrac{297}{2,83} \text{ km/h} \approx 105\text{ km/h}$$

• Cela signifie qu’en moyenne, ce véhicule a parcouru $105\text{ km}$ à chaque heure.
• Sur une course de $100$ mètres, un athlète a couru à une vitesse moyenne de $10,2\text{ m/s}$. En combien de temps a-t-il couru ce $100\text{ m}$ ?

On cherche ici le temps $t$ mis par ce coureur pour parcourir la distance $d = 100\text{ m}$ à la vitesse moyenne $v = 10,2\text{ m/s}$ (ou $\text{m.s}^-1$). On doit donc utiliser la formule $t=\frac{d}{v}$.

On calcule : $$t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{100\ \cancel{\text{m}}}{10,2\ \cancel{\text{m}}\text{.s}^{-1}}=\dfrac{100}{10,2} \text{ s}=9,8\text{ s}$$

• Cet athlète a donc couru ce $100$ mètres en $9,8$ secondes soit $9$ secondes et $8$ dixièmes.