Équations polynomiales et nombres complexes

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2025. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2025 ou des coefficients des matières … 💪

Résolution d’équations du second degré à coefficients réels

  • Soit trois nombres réels $a\neq 0$, $b$ et $c$, ainsi qu’un nombre complexe $z$.

Résoudre $z^2=d$ ($d$ réel)
$$d=0$$ $$d>0$$ $$d<0$$
Une unique solution réelle Deux solutions réelles Deux solutions complexes conjuguées
$$z=0$$ $$\begin{aligned} z_1&=\sqrt{d} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ : }} z_2&=-\sqrt{d} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} z_1&=\text{i} \sqrt{-d} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ : }} z_2&=-\text{i} \sqrt{-d} \end{aligned}$$
  • Pour rappel, le discriminant $\Delta$ d'un trinôme du second degré $az^2+bz+c$ se calcule avec la formule : $\Delta=b^2-4ac$.

Résoudre $az^2+bz+c=0$
$$\Delta=0$$ $$\Delta>0$$ $$\Delta<0$$
Une unique solution réelle Deux solutions réelles Deux solutions complexes conjuguées
$$z_0=-\dfrac{b}{2a}$$ $$\begin{aligned} z_1&=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }}z_2&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} z_1&=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }}z_2&=\dfrac{-b-\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a} \end{aligned}$$
  • La connaissance de racines permet de factoriser l’écriture du polynôme, donc de l’écrire sous forme de produits faisant apparaître les racines.

Factorisation du trinôme $P(z)=az^2+bz+c$
$$\Delta=0$$ $$\Delta\neq 0$$
$P(z)=a (z-z_0)^2$

avec $z_0=-\frac{b}{2a}$

$P(z)=a(z-z_1)(z-z_2)$

avec $z_1$ et $z_2$ les solutions réelles ou complexes de $P(z)=0$

Résolution d’équations de degré $3$ à coefficients réels

  • Soit $P$ un polynôme de degré $3$ et $a$ un nombre complexe tel que $P(a)=0$, alors, pour tout nombre complexe $z$ :

$$\begin{aligned} P(z)&=(z-a)\times Q(z) \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $Q$ un polynôme de degré $2$]}}} \end{aligned}$$

  • Pour résoudre une équation de degré $3$ dans $\mathbb C$ :
  • il faut se ramener à une équation de la forme $P(z)=0$, avec $P$ le polynôme de degré $3$ ;
  • on ne peut les résoudre avec les outils vus dans ce cours que si l’on connaît déjà une racine $z_1$ ;
  • il faut alors factoriser le polynôme en utilisant la racine connue pour se ramener à un produit nul : $P(z)=(z-z_1)\times Q(z)=0$, avec $Q$ un polynôme de degré $2$ ;
  • on résout alors l’équation $Q(z)=0$ ;
  • l’ensemble des solutions de $P(z)=0$ est la solution $z_1$ et les solutions de l’équation $Q(z)=0$.

Résolution d’équations de degré $4$ à coefficients réels

  • Soit $P$ un polynôme de degré $4$, avec $a$ et $b$ deux nombres complexes tel que $P(a)=0$ et $P(b)=0$.
  • $P(z)=(z-a)\times (z-b)\times Q(z)$, avec $Q$ un polynôme de degré $2$ pour lequel l’équation $Q(z)=0$ pourra être résolue dans $\mathbb C$.
  • Soit $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels.
  • On appelle équation bicarrée toute équation de degré $4$ ne comportant que des puissances paires de $z$, c’est-à-dire que nous pouvons écrire sous la forme : $az^4+bz^2+c=0$.
  • Le lien avec une équation de degré $2$ apparaît en remplaçant l’inconnu $z^2$ par $Z$ , pour d’abord chercher les solutions pour $Z$, puis les solutions pour $z$. Si les solutions pour $Z$ sont complexes, il est préférable de passer par la forme exponentielle pour en déduire les solutions pour $z$.

Résolution d’équations de degré $n$ à coefficients réels

  • Soit $n$ un entier naturel et $a_0$, $a_1$, …, $a_n$ des nombres réels, avec $a_n\neq 0$.
  • On appelle fonction polynôme de degré $n$ à coefficients réels la fonction $P$ définie sur $\mathbb C$ par :

$$\begin{aligned} P(z)&=a_0+a_1 z+ a_2 z^2 +…+a_n z^n \\ &= \sum_{k =0}^n a_k z^k \end{aligned}$$

  • L’équation $P(z)=0$ est appelée équation polynomiale de degré $n$.
  • Soit $z$ et $a$ deux nombres complexes.
  • Pour tout entier naturel $n\geq 2$ :

$$z^n-a^n=(z-a)\left(\sum_{k=0}^{n-1} a^k z^{n-1-k} \right)$$

  • Soit $P$ un polynôme de degré $n\geq 1$, et $a$ un nombre complexe tel que $P(a)=0$.
  • Alors $a$ est une racine de $P$ et $P$ se factorise par $(z-a)$.
  • C’est-à-dire qu’il existe un polynôme $Q$ de degré $n-1$ tel que, pour tout $z\in \mathbb C$ , $P(z)=(z-a)\times Q(z)$.
  • Soit $P$ un polynôme de degré $n$.
  • $P$ admet au plus $n$ racines.
  • Soit $P$ un polynôme de degré $n$ ($n$ entier naturel non nul), à coefficients réels $\alpha_k$ :

$$P(z)=\sum_{k=0}^n \alpha_k z^k$$

  • La somme de toutes ses racines est égale à :

$$-\dfrac{\alpha_{n-1}}{\alpha_n}$$

  • Le produit de toutes ses racines est égal à :

$$(-1)^n\dfrac{\alpha_{0}}{\alpha_n}$$