Continuité des fonctions d’une variable réelle

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Continuité

  • Continuité d’une fonction sur un intervalle : $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ est un nombre réel de $I$.
  • $f$ est continue en $a$ si et seulement si $f$ a une limite finie en $a$ et si cette limite est égale à $f(a)$ (réel). C’est-à-dire que : $\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)$
  • $f$ est continue sur $I$ si et seulement si $f$ est continue en tout nombre réel de $I$.
  • Propriétés de la continuité d’une fonction :
  • Les fonctions dérivables sur un intervalle $I$ sont continues sur cet intervalle.
  • Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$, alors $u+v$ et $u\times v$ sont continues sur $I$.
  • Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$ et si de plus $v$ est non nulle sur $I$, alors $\frac{u}{v}$ est continue sur $I$.
  • En particulier, la fonction $\frac 1v$ est continue sur $I$.
  • Continuité des fonctions usuelles :
  • Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. C’est-à-dire :
  • les fonctions affines sont continues sur $\mathbb{R}$ ;
  • les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$ ;
  • la fonction inverse est continue sur $] - \infty\ ;\,0[$ et sur$ ]0\ ;\,+\infty[$ ;
  • la fonction racine carrée est continue sur $[0\ ;\,+\infty[$ ;
  • la fonction exponentielle est continue sur $\mathbb {R}$.

Théorème des valeurs intermédiaires

  • Théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction $f$ est définie et continue sur un intervalle $[a\ ;\,b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

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  • Corollaire :

Si une fonction $f$ est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $[a\ ;\,b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ a une unique solution dans l’intervalle $[a\ ;\,b]$.

  • Méthode de résolution :
  • Étudier les variations de la fonction en calculant sa dérivée.
  • Utiliser le corollaire ou le théorème si les conditions sont réunies.
  • Rechercher ensuite la ou les solution(s).
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Astuce

Pour encadrer une solution, vous pouvez vous servir de la fonction table de votre calculatrice.

Étude d’une suite définie par une relation de récurrence

  • Théorème :
  • Soit $(u_n)$ une suite de premier terme donné et dont le terme général vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$, où $f$ est une fonction.
  • Si $(u_n)$ converge vers $l$ et si $f$ est continue en $l$, alors $f(l) = l$.
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Astuce

La limité éventuelle d’une suite $(u_n)$ dont le terme général vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$, où $f$ est une fonction continue, est à chercher parmi les solutions de l’équation $f(l) = l$.
Il faut ensuite démontrer que cette limite existe et que l’on peut appliquer le théorème.

  • Méthode :
  • Calculer la limite éventuelle en $l$ de la suite $u_n$.
  • Démontrer que la suite est convergente.