Connaître les fonctions affines

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Introduction :

L’objectif de ce cours est d’étudier les fonctions affines.

Nous donnerons d’abord la définition d’une fonction affine que nous accompagnerons de quelques remarques et exemples. Nous nous intéresserons ensuite à sa représentation graphique dont nous énumèrerons propriétés, vocabulaire et méthode de construction également illustrés d’exemples. Nous aborderons également la notion de proportionnalité des accroissements puis terminerons ce chapitre par quelques applications.

Les fonctions affines

Définition

Fonction affine :

Une fonction affine est une fonction qui à un nombre $x$ associe le nombre $ax+b$. On la note $f: x\rightarrow ax+b$ ou $f(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ deux nombres donnés.

Exemple

Soit la fonction $f$ définie par $f:x\rightarrow \dfrac 34 x-1$

$f$ est une fonction affine où $a=\dfrac34$ et $b=-1$

Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=2x^2+3$

$g$ n’est pas une fonction affine en raison du carré.

Soit la fonction $h$ définie par $h(x)=5x$

$h$ est une fonction affine où $a=5$ et $b = 0$

À retenir

Une fonction affine où $b$ est nul est une fonction linéaire $x\rightarrow ax$
Une fonction affine où $a$ est nul est une fonction constante $x\rightarrow b$
Tous les nombres $x$ ont pour image le nombre $b$.
Par une fonction affine, l’antécédent d’un nombre est unique sauf dans le cas d’une fonction constante où le nombre $b$ admet pour antécédents tous les nombres $x$.

Exemple

Soit la fonction affine $f : x\rightarrow \dfrac34 x-1$

Déterminer l’image de $2$ par la fonction $f$

On recherche $f(x)$ pour $x=2$

On remplace $x$ par $2$ dans $f(x)=\dfrac34 x-1$ ce qui donne : $$f(2)=\dfrac34 \times 2-1=\dfrac64-1=\dfrac32- \dfrac22=\dfrac12$$

L’image de $2$ par la fonction affine $f$ est $\dfrac12$.
Déterminer l’antécédent de $8$ par la fonction $f$

On recherche la valeur de $x$ pour $f(x)=8$

On sait que $f(x)=\dfrac34 x-1$ donc $x$ est la solution de l’équation $\dfrac34 x-1=8$

D’où : $\dfrac34x-1+1=8+1$

$$\begin {aligned} \dfrac34 x &=9 \\ \dfrac 34 x \times \dfrac43&=9 \times \dfrac43 \\ x&=\dfrac{36}{3} \\ x&=12 \end {aligned}$$

L’antécédent de $8$ par la fonction affine $f$ est $12$.

Passons maintenant à la représentation graphique d’une fonction affine.

Représentation graphique

Propriété et vocabulaire

Propriété

Soit une fonction affine $f :x \rightarrow ax+b$

La représentation graphique de $f$ est une droite.
L’équation de cette droite est $y=ax+b$

$a$ est appelé coefficient directeur de la droite $y=ax+b$
Il indique la direction de la droite.
$b$ est appelé ordonnée à l’origine. C’est la valeur de $f(x)$ pour $x=0$, valeur de l’intersection de la droite $y=ax+b$ avec l’axe des ordonnées.

Construction

Soit le point $N$ d’abscisse $x=0$ appartenant à la droite d’équation $y=ax+b$, alors $N$ a pour coordonnées $(0\ ;b)$.
Pour construire la représentation graphique d’une fonction affine $f$, il suffit de connaitre les coordonnées d’un seul autre point $M(x\ ;y)$ appartenant à la droite et de tracer la droite $(NM)$.

Types de représentations possibles

$Connaître les fonctions affines mathématiques troisième$

$f$ fonction affine définie par $f(x)=ax+b$
Sa représentation graphique est la droite $(NM)$. Elle a pour équation $y=ax+b$
$g$ fonction constante définie par $g(x)=b$
Sa représentation graphique est la parallèle à l’axe des abscisses passant par le point $N$. Elle a pour équation $y=b$
$h$ fonction linéaire définie par $h(x)=ax$
Sa représentation graphique est une droite parallèle à la droite $(NM)$ (elle a le même coefficient directeur) passant par l’origine du repère. Elle a pour équation $y=ax$

Exemple

Construisons la représentation graphique de $f(x)=\dfrac34 x-1$

$f$ est une fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d’équation $y=\dfrac34x-1$

L’ordonnée à l’origine de la fonction $f$ est $-1$ donc cette droite passe par le point $N(0\ ; -1)$

Comme autre point, on peut choisir le point d’abscisse $2$ dont on a calculé l’ordonnée un peu plus haut $f(2)=\dfrac12=0,5$

Donc la droite d’équation $y=\dfrac34 x-1$ passe par les points $N(0\ ; -1)$ et $M(2\ ; 0,5)$.

On peut maintenant tracer sa représentation graphique :

$Représentation graphique de la droite$ Représentation graphique de la droite

Sur l’exemple ci-dessus, on voit que :

l’image de $6$ est $3,5$ ;
l’antécédent de $-4$ est $-4$.

Notion de proportionnalité des accroissements

Pour toute fonction affine $f : x \rightarrow ax+b$, il y a proportionnalité des accroissements, c'est-à-dire que les accroissements de $x$ et de $f(x)$ sont proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant le coefficient directeur $a$.

Quels que soient les nombres $x_1$ et $x_2$ , avec $x_2 \neq x_1$, on peut donc écrire : $$f(x_2)-f(x_1)=a \times (x_2-x_1)$$

$$a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

D’où la propriété suivante.

Propriété

Soit une fonction affine $f : x \rightarrow ax+b$
Soient deux points $M(x_M\ ;y_M)$ et $P(x_P\ ;y_P)$ appartenant à sa représentation graphique.
Alors le coefficient directeur $a$ est égal à : $$a=\dfrac{y_P-y_M}{x_P-x_M}=\dfrac{f(x_P)-f(x_M)}{x_P-x_M}$$

Démonstration

Soient $M(x_M\ ;y_M)$ et $P(x_P\ ;y_P)$ deux points de la droite $y=ax+b$

$Connaître les fonctions affines mathématiques troisième$

On a $y_M=ax_M+b$ et $ y_P= ax_P+b$

Donc : $$\begin {aligned} y_P-y_M&=(ax_P+b)-(ax_M+b)\\&=ax_P-ax_M+b-b \\ &=ax_P-ax_M\\&=a(x_P-x_M) \end{aligned}$$

D’où : $$a=\dfrac{y_P-y_M}{x_P-x_M}$$

Si $a$ est positif, les deux accroissements ont le même signe. La droite « monte ».
Si $a$ est négatif, les deux accroissements sont de signes opposés. La droite « descend ».
Si $a$ est nul, la droite est parallèle à l’axe des abscisses (fonction constante).
Plus $a$ est grand, plus l’accroissement de $y$ est grand par rapport à celui de $x$, donc plus la droite « monte ».

Exemple

Calculons le coefficient directeur dans les cas deux suivants.
Concluons quant à la direction de la représentation graphique de la fonction.

$f$ fonction affine telle que $f(-1)=4$ et $f (3)=9$

$f$ est affine donc sa représentation graphique est une droite et il y a proportionnalité des accroissements d’où le coefficient directeur : $$a=\dfrac{9-4}{3-(-1)}=\dfrac54$$

$a$ est positif donc la droite « monte ».
$g$ fonction affine dont la représentation graphique passe par les points $A(-2\ ; 1)$ et $B(4\ ; -6)$.

$g$ est affine donc sa représentation graphique est une droite et il y a proportionnalité des accroissements d’où le coefficient directeur : $$a=\dfrac{-6-1}{4-(-2)}=\dfrac{-7}{6}$$

$a$ est négatif donc la droite « descend ».

Applications

Voyons maintenant deux types d’exercices auxquels on peut s’attendre sur les fonctions linéaires.

Expression algébrique d’une fonction affine en connaissant deux points de sa représentation graphique

Le résultat attendu ici est de la forme $f(x)=ax+b$

Il s’agit de déterminer les valeurs de $a$ et $b$ par le calcul.

Pour calculer $a$, on utilise la proportionnalité des accroissements entre les deux points connus de la droite.
Pour calculer $b$, on applique l’expression algébrique d’une fonction affine à un des deux points connus de la droite.

Exemple

Déterminons l’expression algébrique de la fonction affine $f$ dont la représentation graphique passe par les points $A(1\ ; 1)$ et $B(4\ ; -3)$.

Calcul de $a$

$f$ est une fonction affine donc son expression algébrique est de type $f(x)=ax+b$

Sa représentation graphique est une droite passant par les points $A(1\ ; 1)$ et $B(4\ ; -3)$ donc le coefficient directeur est : $$a=\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}=\dfrac{-3-1}{4-1}=-\dfrac43$$

Calcul de $b$

$b$ est tel que les coordonnées du point $B(4\ ; -3)$, par exemple, vérifient l’expression algébrique de la fonction $f(x)=ax+b$

Soit : $$-3=\dfrac{-4}{3} \times 4+b$$ D’où : $$b=-3 +\dfrac{16}{3}=\dfrac{-9+16}{3}=\dfrac73$$

L’expression algébrique de la fonction $f$ est donc $f(x)=-\dfrac43 x +\dfrac73$

Équation d’une droite par lecture graphique

Le résultat attendu ici est de la forme $y=ax+b$

Il s’agit de déterminer les valeurs de $a$ et $b$ par la lecture d’un graphique.

Pour déterminer $a$, on lit les accroissements de $x$ et de $y$ entre deux points de la droite où la lecture est facilitée. $a$ est le quotient de l’accroissement de $y$ par l’accroissement de $x$.
$b$ est l’ordonnée à l’origine. C’est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.

Exemple

Déterminons l’équation de la droite dans les deux cas suivants.

$Connaître les fonctions affines mathématiques troisième$