Compléments sur la dérivation

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Rappels

  • Dérivées des fonctions de référence

$f(x)$ $f^\prime(x)$ $f$ est dérivable sur
$ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R)$ $a$ $\mathbb R$
$x^n\ (n\in \mathbb Z)$ $nx^{n-1}$ $\mathbb R \text{ si } n\geq 0$

$\mathbb R^* \text{ si } n<0$

$\dfrac 1x$ $-\dfrac 1{x^2}$ $\mathbb R^*$
$\sqrt x$ $\dfrac 1{2\sqrt x}$ $]0\ ;\,+\infty[$
$\text e^x$ $\text e^x$ $\mathbb R$
  • Opération sur les dérivées
  • $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.

$u\times v$ est dérivable sur $I$ $(u \times v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}$
Si $v$ ne s’annule pas sur $I$,

$\frac 1v$ et $\frac uv$ sont dérivables sur $I$

$\left(\dfrac 1v\right)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}$
$\left(\dfrac {u}{v}\right)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}$
  • $f$ est une fonction dérivable en $a\in I$.
  • La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $a$ est la droite d’équation :

$$y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$$

Nouvelles formules de dérivées

  • Soit la fonction $x\mapsto ax+b$ ($a$ et $b$ réels) définie et dérivable sur $I$, à valeurs dans $J$.
    Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $J$.
  • Alors $x\mapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :

$$x\mapsto af^{\prime}(ax+b)$$

  • Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
  • La fonction $u^2$ est dérivable sur $I$ et :

$$(u^2)^{\prime}= 2u^{\prime} u$$

  • La fonction ${\text{e}}^u$ est dérivable sur $I$ et :

$$(\text{e}^u)^{\prime}= u^{\prime} \times {\text{e}}^u$$

  • Soit $u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
  • Alors la fonction $\ln{(u)}$ est dérivable sur $I$ et :

$$\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}$$

Méthodologie pour l’étude de fonction

  • Calculer la dérivée.
  • Étudier le signe de la dérivée et les variations de la fonction.
  • Calculer les éventuels extremums et les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction.
  • Récapituler les informations dans un tableau de signe et de variations.
  • Tracer la courbe représentative de la fonction.