Dérivée de 2 fonctions composées

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Rappels sur les calculs de dérivées

  • Tableau des dérivées de quelques fonctions usuelles vues en première :

$f(x)$ $f^\prime(x)$ $f$ est dérivable sur :
$ax+b\ (a\text{ et }b \in \mathbb R)$ $a$ $\mathbb R$
$x^n\ (n\in \mathbb Z)$ $nx^{n-1}$ $\mathbb R \text{ si } n\geq 0$

$\mathbb R^* \text{ si } n<0$

$\dfrac 1x$ $-\dfrac 1{x^2}$ $\mathbb R^*$
$\sqrt x$ $\dfrac 1{2\sqrt x}$ $]0\ ;\,+\infty[$
$\text e^x$ $\text e^x$ $\mathbb R$
  • Formules de produit et de quotient de deux fonctions :
  • Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, alors la fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et : $(u v)^{\prime} =u^{\prime} v+u v^{\prime}$
  • Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, avec $v(x)\neq0$ pour tout $x\in I$, alors :
  • la fonction $\dfrac {1}{v}$ est dérivable sur $I$ et : $\Big(\dfrac 1v\Big)^{\prime} = -\dfrac {v^{\prime} }{v^2}$
  • la fonction $\dfrac {u}{v}$ est dérivable sur $I$ et : $\Big(\dfrac {u}{v}\Big)^{\prime} = \dfrac {u^{\prime} v-uv^{\prime}}{v^2}$
  • Équation de la tangente en un point à la courbe d’une fonction :
  • $f$ est une fonction dérivable en $a\in I$.
  • La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $a$ est la droite d’équation : $y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$
  • $f^{\prime}(a)$ est le coefficient directeur de cette tangente.

Nouvelles formules de dérivées

  • Fonctions de la forme $u^n$ : soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
  • Si $n \in \mathbb N^*$, alors la fonction $u^n$ est dérivable et : $\boxed{(u^n)^{\prime}=nu^{\prime} u^{n-1}}$
  • Si $n$ est un entier strictement négatif et que $u$ ne s’annule pas sur $I$, alors $u^n$ est aussi dérivable et on a la même formule.
  • Fonctions de la forme $\sqrt u$ :
  • Si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$,
  • alors la fonction $\sqrt u$ est dérivable sur $I$ et $\boxed{\left(\sqrt u\right)^{\prime} =\dfrac {u^{\prime} }{2\sqrt u}}$.
  • Fonctions composées :
  • Soit une fonction composée, de forme générale : $x \mapsto f\big(u(x)\big)$. Où $u\,:\,I \to J$ et $f\,:\,J \to \mathbb{R}$, avec $I$ et $J$ deux intervalles.
  • Si la fonction $u$ est dérivable sur $I$ et que la fonction $f$ est dérivable sur $J$, alors la fonction $x \mapsto f\big(u(x)\big)$ est dérivable sur $I$ et a pour dérivée la fonction :

$$x \mapsto \boxed{u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big)}$$

Application de la dérivation : méthode d’étude de fonction

Étapes d’une étude de fonction :

  • Chercher l’ensemble de définition de la fonction, puis de sa dérivée, s’ils ne sont pas donnés dans l’énoncé ;
  • Calculer la dérivée ;
  • Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction (faire un tableau) ;
  • Calculer les éventuels extremums ou les limites afin de compléter le tableau de variations.