Fiche de révision : Factorielle, k-uplet, permutation et combinaison

Définitions

• On appelle cardinal de $E$, ensemble fini, le nombre de ses éléments.
• On le note : $\text{Card}( E)$, et c’est un entier naturel.
• Soit $p\in \mathbb N^*$ et $A_1,\,A_2,\,…,\,A_p$ des sous-ensembles non vides d’un ensemble fini $E$.
• $\mathcal P=\lbrace A_1,\,A_2,\,…,\,A_p\rbrace$ est une partition de $E$ si et seulement si :

$$\begin{cases} A_1\cup A_2 \cup…∪A_p=E \\ A_1,\,A_2,\,…,\,A_p \text{ sont disjoints $2$ à $2$} \end{cases}$$

• Si $A$ est une partie de $E$, non vide et non égale à $E$, $A$ et $\bar A$ forment une partition de $E$.
• Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ est noté $E\times F$.
• Il est défini par : $E\times F=\lbrace(x,\,y) \text{ avec $x\in E$ et $y \in F$}\rbrace$.
• Il s’agit de l’ensemble des couples dont le premier élément est un élément de $E$ et le second un élément de $F$.
• Le produit cartésien de $n$ ensembles est :

$$\begin{aligned} E_1\times E_2\times … \times E_n=&\big\lbrace(x_1,\,x_2,\,…,\,x_n) \\ &\text{ avec, pour tout $i\in\lbrace1,\,2,\,…,\,n\rbrace$ : $x_i\in E_i$}\big\rbrace \end{aligned}$$

• Les éléments d’un produit cartésien de $k$ ensembles sont appelés des $k\text{-listes}$ ou des $k\text{-uplets}$.
• Un $k \text{-uplets}$ d’un ensemble fini $E$ de $n$ éléments est une liste de $k$ éléments choisis parmi les $n$ éléments de $E$.
• On appelle permutation d’un ensemble $E$ de $n$ éléments tout $n \text{-uplet}$ d’éléments distincts.
• Le nombre $n!$ se lit : « factorielle n ».
• $n!=n\times(n-1)\times…\times2\times1$.
• $0!=1$ et $(n+1)!=(n+1)\times n!$
• Soit $E$ un ensemble fini de $n$ éléments et $k$ un entier tel que $0\leq k\leq n$.
• On appelle combinaison de $k$ éléments de $E$ toute partie de $E$ ayant $k$ éléments.
• Une combinaison est un sous-ensemble.
• Le coefficient binomial correspond au nombre de combinaisons.

Formules et propriétés

Triangle de Pascal

• Nous plaçons dans un premier temps les coefficients suivants (selon les propriétés vues plus haut) :
• $\binom n0=1$ ;
• $\binom nn=1$ ;
• $\binom n1=n$.
• Nous faisons la somme du coefficient juste au-dessus et de celui à gauche de ce dernier.
• Nous pouvons également utiliser la propriété de symétrie.
• Triangle de Pascal, jusqu’à $n=9$ :