Calculer des probabilités
Vocabulaire
Vocabulaire
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat.
- Tous les résultats possibles d’une expérience sont appelés issues.
- Un événement est une condition qui peut être réalisée par une ou plusieurs issue(s) de l’expérience :
- un événement élémentaire est réalisé par une seule issue ;
- un événement certain est réalisé par toutes les issues : il est sûr de se produire ;
- un événement impossible n’est réalisé par aucune issue : il n’a aucune chance de se produire.
- Deux événements sont contraires si chacun d’entre eux est sûr de se réaliser lorsque l’autre ne se réalise pas.
- Si on appelle un des deux événements « Événement $A$ », son événement contraire s’appellera « Événement non $A$ ».
- Deux événements sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se produire en même temps.
Calcul de probabilités
Calcul de probabilités
- La probabilité d’un événement désigne la proportion de chance que cet événement se produise. Elle s’exprime sous forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
- Soit $A$ un événement d’une expérience. On note $p(A)$ la probabilité que l’événement se réalise.
- La probabilité d’un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$.
- La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'une expérience est égale à $1$.
- La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des issues favorables à cet évènement.
- La probabilité d'un événement impossible est égale à $0$.
- La probabilité d'un événement certain est égale à $1$.
- Lorsque deux événements sont incompatibles :
- la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leur probabilité ;
- la probabilité pour que l’un et l’autre se réalisent est nulle.
- Soient $A$ et $B$ deux événements incompatibles :
$$p(A \text{ ou } B) = p(A) + p(B)$$ $$p(A \text{ et } B) = 0$$
- La somme des probabilités d'un évènement et de son contraire est égale à $1$ : $$p(A) + p(\text{non } A) = 1$$
- Lors d’une expérience aléatoire, si chaque événement élémentaire a la même chance de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.
- Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est le quotient du nombre d’issues favorables à l’événement par le nombre d’issues possibles.
Soit $A$ un événement d’une expérience à situation d’équiprobabilité, alors :
$$p(A)=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre d’issues possibles}}$$
- Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’une fréquence théorique appelée probabilité.
Représentation en arbre de probabilités pondéré
Représentation en arbre de probabilités pondéré
- L’arbre de probabilités pondéré d’une expérience aléatoire indique chacune des issues de l’expérience en spécifiant sur chaque branche la probabilité correspondante.
- La probabilité d’un événement est la somme des probabilités écrites sur les branches conduisant aux issues favorables à cet événement.
Expérience aléatoire à deux épreuves
Expérience aléatoire à deux épreuves
- Sur un arbre pondéré d’une expérience aléatoire, une succession de branches s’appelle un chemin.
- Sur un arbre pondéré, la probabilité d’une issue est le produit des probabilités rencontrées le long du chemin.