Utiliser les suites géométriques dans un contexte géométrique (triangle de Sierpiński)

L’exercice corrigé de cette fiche permet d’appliquer les notions du cours « Croissance exponentielle et suites géométriques » :

• modéliser une situation géométrique par une suite numérique ;
• déterminer la relation de récurrence et la formule explicite d’une suite ;
• reconnaître une suite géométrique ;
• utiliser une suite géométrique pour calculer des valeurs ;
• déterminer le sens de variation d’une suite géométrique ;
• représenter une suite géométrique.

Préambule : construction du triangle de Sierpiński

• On construit un triangle équilatéral de côté $12\ \text{cm}$ (étape 0).
• On place le milieu de chaque côté et on relie ces trois points pour former un triangle équilatéral de côté $6\ \text{cm}$, que l’on colorie (étape 1).

• On recommence l’opération (b) pour chacun des trois triangles équilatéraux blancs de l’étape 1 : on place le milieu de chaque côté et on relie ces points pour former un triangle équilatéral de côté $3\ \text{cm}$, que l’on colorie (étape 2).
• On peut poursuivre ainsi pour l’étape 3 et les suivantes.

Quand on reproduit ces étapes un très grand nombre de fois, on obtient le triangle de Sierpiński, du nom du mathématicien polonais qui l’a inventé en 1915.
Ce triangle fait partie des figures géométriques qu’on appelle fractales : en zoomant sur une partie de la figure à une étape quelconque, on retrouve le motif précédent.

Énoncé

On désigne :

• le numéro de l’étape par l’entier naturel $n$ ;
• le nombre de triangles blancs obtenus à l’étape $n$ par $u(n)$ ;
• et enfin la suite numérique des $u(n)$, où $n\in\mathbb N$, par $u$.

Ainsi, à l’étape $0$, $n=0$ et il y a un seul triangle blanc.

• Donc $u(0)=1$.

À l’étape $1$, $n=1$ et il y a trois triangles blancs.

• Donc $u(1)=3$.

Question 1

Donner sans justification $u(2)$ et $u(3)$.

Question 2

Expliquer comment on peut calculer le nombre de triangles blancs à l’étape $(n+1)$ à partir du nombre de triangles blancs à l’étape $n$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$ :
$$u(n+1)=3\times u(n)$$

Question 3

Quelle est la nature de la suite $u$ ?
En déduire l’expression de $u(n)$ en fonction de $n$, puis le nombre de triangles blancs à l’étape $10$.

Question 4

Quel est le sens de variation de la suite $u$ ?

Question 5

On s’intéresse maintenant à l’aire des triangles blancs. On admet que l’aire d’un triangle équilatéral de côté $c$ est égale à :
$$\dfrac{\sqrt 3}4\times c^2$$

Dans cette question, $n$ désigne toujours le numéro de l’étape.
On note $a(n)$ l’aire totale occupée par les triangles blancs à l’étape $n$.

a. Prouver que $a(0)=36\sqrt{3}\ \text{cm}^2$.

b. En observant la figure de l’étape $1$, justifier l’égalité :
$$a(1)=\dfrac 34 a(0)$$ Puis calculer $a(1)$.

Question 6

Dans le repère ci-dessous, on a construit la représentation du nuage des points $A_n$ de coordonnées $\big(n\ ;\, a(n)\big)$, avec $1\leq n\leq 24$.
On a indiqué les coordonnées de quelques points en arrondissant $a(n)$ au dixième.

a. Quel semble être le sens de variation de la suite $a$ ?

b. La suite $a$ est-elle arithmétique ? Justifier.

c. En utilisant les valeurs données sur le graphique, donner les valeurs approchées au centième de :
$$\dfrac {a(2)}{a(1)}\qquad \dfrac{a(3)}{a(2)}\qquad \dfrac {a(4)}{a(3)}$$
En comparant avec la valeur exacte de $\frac {a(1)}{a(0)}$, que peut-on conjecturer ?

d. On admet que la suite $a$ suit la relation fonctionnelle, pour tout entier naturel $n$ :
$$a(n)=36\sqrt 3\times \left(\dfrac 34\right)^n$$ En quoi cette formule permet-elle de démontrer les conjectures émises aux questions a et c ?

Corrigé

Question 1

On utilise les figures des étapes 2 et 3 :

$u(2)$ est le nombre de triangles blancs à l’étape $2$.

• Donc $u(2)=9$.

$u(3)$ est le nombre de triangles blancs à l’étape 3.

• Donc $u(3)=27$.

Question 2

Soit un entier naturel $n$.
À l’étape $n$, chaque triangle blanc est partagé en $4$ triangles ; on en colorie un sur les quatre. Un triangle blanc donne donc $3$ autres triangles blancs.
Ainsi, on multiplie par $3$ le nombre de triangles blancs quand on passe de l’étape $n$ à l’étape $(n+1)$.

• Par conséquent, comme $u(n)$ est le nombre de triangles blancs à l’étape $n$, $u(n+1)$ est le nombre de triangles blancs à l’étape $(n+1)$, et on a, pour tout entier naturel $n$ :
  $$u(n+1)=3\times u(n)$$

Question 3

Pour tout entier naturel $n$, on multiplie le terme $u(n)$ par $3$ pour obtenir le terme suivant $u(n+1)$.

• $u$ est donc une suite géométrique de raison $3$.

On peut donc écrire que, pour tout entier naturel $n$ :
$$u(n)=u(0)\times 3^n$$

• Comme $u(0)=1$, cela donne, pour tout entier naturel $n$ : $u(n)=3^n$.

Pour calculer $u(10)$, on remplace $n$ par $10$ dans la formule $u(n)=3^n$ :
$$u(10)=3^{10}=59\,049$$

• À l’étape $10$, il y a donc $59\,049$ triangles blancs.

Question 4

La raison de la suite $u$ est strictement supérieure à $1$.

• On en déduit que la suite $u$ est croissante.

Question 5

a. $a(0)$ est l’aire du triangle à l’étape 0. C’est donc l’aire d’un triangle équilatéral de côté $12$.
On utilise la formule $\dfrac{\sqrt 3}4\times c^2$, avec $c=12$ :
$$\begin{aligned} a(0)&=\dfrac{\sqrt 3}4\times 12^2 \\ &=\dfrac{\sqrt 3}4\times 144 \\ &=\dfrac{\sqrt 3}4\times 4\times 36 \\ &=36\sqrt{3} \end{aligned}$$

• $a(0)$ vaut donc bien $36 \sqrt 3\ \text{cm}^2$.

b. Pour passer de l’étape 0 à l’étape 1, on a partagé en $4$ triangles équilatéraux de même dimension le triangle de départ, et on a conservé $3$ d’entre eux blancs.
Ainsi, l’aire des triangles blancs à l’étape 1 est :
$$a(1)=\dfrac 34\times a(0)$$ On calcule cette aire :
$$a(1)=\dfrac 34\times 36\times \sqrt 3=27\sqrt 3$$

• $a(1)$ vaut donc $27\sqrt 3\ \text{cm}^2$.

Remarque :
On a donné la valeur exacte de $a(0)$ à la question a, comme nous y a invité l’énoncé, on donne donc aussi la valeur exacte de $a(1)$.

Question 6

a. Sur le graphique, le nuage de points « descend » quand $n$ croît.

• La suite $a$ semble être décroissante.

b. On sait que les points de la représentation graphique d’une suite arithmétique sont alignés (voir cours « Croissance linéaire et suites arithmétiques »). Or, les points $A_n$ ne sont pas alignés.

• La suite $a$ n’est donc pas arithmétique.

c. En relevant les valeurs approchées des ordonnées sur le graphique :
$$\begin{aligned} \dfrac{a(2)}{a(1)} &\approx \dfrac {35,1}{46,8}=\boxed{0,75} \\ \dfrac {a(3)}{a(2)} &\approx \dfrac {26,3}{35,1}\approx \boxed{0,75} \\ \dfrac{a(4)}{a(3)} &\approx \dfrac {19,7}{26,3}\approx \boxed{0,75} \end{aligned}$$

Or, on a vu plus haut que $a(1)=\dfrac 34\times a(0)$. D’où :
$$\dfrac {a(1)}{a(0)}=\dfrac 34=0,75$$

On a calculé le quotient de deux termes consécutifs $\dfrac{a(n+1)}{a(n)}$ pour $n$ compris entre $0$ et $3$, et on trouve des valeurs proches de $0,75$.

• On peut faire l’hypothèse que la suite $a$ est géométrique et que sa raison est $0,75$.

Attention

C’est une hypothèse formulée sur l’observation de quatre valeurs. L’observation ne suffit pas à démontrer que la suite est géométrique. Pour cela, il faudrait que l’on montre que, pour tout entier naturel $n$, $\frac {a(n+1)}{a(n)}$ vaut exactement $0,75$.

d. D’après l’énoncé, pour tout entier naturel $n$ :
$$a(n)=36\sqrt 3\times \left(\dfrac 34\right)^n$$

Dans cette écriture, on reconnaît le premier terme : $a(0)=36\sqrt 3$.

• Ainsi, $a(n)=a(0)\times \left(\frac 34\right)^n$ est bien la forme d’une suite géométrique de premier terme $a(0)$ et de raison $q=\frac 34=0,75$.
• La raison de la suite est strictement inférieure à $1$, donc cette suite est bien décroissante.

Cette écriture nous a bien permis de vérifier les deux hypothèses formulées aux questions a et c.