Utiliser les suites géométriques dans un contexte économique (capital placé à intérêts composés)

L’exercice corrigé de cette fiche permet d’appliquer les notions du cours « Croissance exponentielle et suites géométriques » :

• modéliser une situation géométrique par une suite numérique ;
• déterminer la formule explicite d’une suite et montrer qu’elle est géométrique ;
• utiliser une suite géométrique pour calculer des valeurs ;
• utiliser un tableur pour calculer les termes d’une suite et rechercher un seuil ;
• déterminer le sens de variation d’une suite géométrique ;
• calculer la racine $n\text{-ième}$ d’un nombre et déterminer un taux moyen d’évolution.

Énoncé

En $2020$, monsieur H. place $2\,500\ €$ sur un livret d’épargne au taux annuel de $3\,\%$ à intérêts composés : cela signifie qu’à la fin de chaque année le capital est augmenté de $3\,\%$.
Dans cet exercice, on suppose que monsieur H. ne se sert pas de cette épargne.

On note $n$ le rang de l’année suivant $2020$ et $C(n)$ le capital, en euro, que monsieur H. a acquis au début de l’année $(2020+n)$.
Ainsi, $C(0)$ est le capital acquis au début de l’année $(2020+0)$, soit $2020$.

• On a donc $C(0)=2\,500$.

Et $C(1)$ est le capital acquis au début de l’année $(2020+1)$, soit $2021$.

• C’est donc le capital obtenu après augmentation de $3\,\%$ de $C(0)$.

On notera $C$ la suite des termes $C(n)$, avec $n\in \mathbb N$.

Question 1

Montrer que $C(1)=2\,575$ et que $C(2)=2\,652,25$.

Question 2

La suite $C$ est-elle arithmétique ? Justifier.

Question 3

Montrer que la suite $C$ est une suite géométrique.
Préciser le premier terme et la raison de la suite, puis donner l’expression de $C(n)$ en fonction de $n$.

Question 4

Calculer $C(8)$ et en donner un arrondi au centième. Comment interpréter ce résultat ?

Question 5

Monsieur H. veut suivre l’évolution de son capital. Il a donc modélisé l’évolution de la suite $C$ sur tableur.
On donne ci-dessous le début de sa feuille de calcul.

a. Quelle formule a été écrite dans la cellule B3 pour obtenir la valeur du capital après $1$ année, et qui a permis, par utilisation de la poignée de recopie, d’obtenir les valeurs du capital de la colonne B pour les années suivantes ?

b. D’après la feuille de calcul, à partir de quelle année le capital de monsieur H. dépassera-t-il $3\,000\ €$ ?

Question 6

Monsieur H. aurait souhaité que les $3\,000\ €$ soient atteints dès $2024$.
On suppose dans cette question que les intérêts composés sont calculés avec un taux annuel $t$ (en pourcentage).
$C$ est donc la suite géométrique de premier terme $C(0)$ et de raison $(1+t)$.

a. Quel est le sens de variation de la suite $C$ ?

b. Exprimer en fonction de $t$ le capital $C(4)$.
Puis résoudre l’équation $2\,500\times (1+t)^4=3\,000$ ; on donnera une valeur de $t$ en pourcentage, approchée au dixième par excès.

c. En déduire le taux $t$ qui aurait été nécessaire pour que le capital de monsieur H. dépasse $3\,000\ €$ dès $2024$.

Corrigé

Question 1

$C(1)$ est le capital acquis au début de l’année $2021$ : il est obtenu après augmentation de $3\,\%$ de $C(0)$.

Astuce

Quand une valeur initiale évolue d’un pourcentage $t$, pour passer d’une valeur initiale $V_\text{i}$ à une valeur finale $V_\text{f}$, on utilise les formules vues en seconde pour trouver la valeur finale.

• S’il s’agit d’une augmentation : $V_\text{f}=(1+t)\times V_\text{i}$.
• S’il s’agit d’une diminution : $V_\text{f}=(1-t)\times V_\text{i}$.

Ici, $t=\frac 3{100}$.

• On obtient donc :
  $$\begin{aligned} C(1)&=C(0)\times \left(1+\dfrac 3{100}\right) \\ &=C(0)\times 1,03 \\ &=2\,500\times 1,03 \\ &=2\,575 \end{aligned}$$

De la même manière, $C(2)$ est le capital acquis au début de l’année $2022$, après augmentation de $3\,\%$ de $C(1)$.

• On obtient alors :
  $$\begin{aligned} C(2)&=C(1)\times 1,03 \\ &=2\,575\times 1,03 \\ &=2\,652,25 \end{aligned}$$

Question 2

Une suite $u$ est arithmétique lorsqu’elle vérifie, pour tout entier naturel $n$, $u(n+1)-u(n)=r$, où $r$ est une constante réelle.

Astuce

Pour démontrer que $u$ n’est pas arithmétique, il faut prouver que cette dernière propriété « Pour tout entier naturel $n$, $u(n+1)-u(n)=r$, où $r$ est une constante réelle » est fausse ; il suffit alors de prouver qu’elle est fausse pour une ou quelques valeurs de $n$.

• Ce sont des contre-exemples.

Ici, on a :
$$\begin{aligned} C(1)-C(0)&=2\,575-2\,500=\red{75} \\ C(2)-C(1)&=2\,652,25-2\,575=\red{77,25} \end{aligned}$$ La différence de ces termes consécutifs ne donne pas le même nombre.

• Ainsi la suite $C$ n’est pas arithmétique.

Question 3

Soit $n$ un entier naturel.
Le capital augmente de $3\,\%$ d’une année à l’autre. Donc :
$$C(n+1)=\left(1+\dfrac 3{100}\right) \times C(n)$$

On en déduit que, pour tout entier naturel $n$ :
$$C(n+1)=1,03\times C(n)$$

Pour passer du terme de rang $n$ au terme de rang $(n+1)$, on multiplie par la constante réelle $1,03$.

• La suite $C$ est donc géométrique de raison $1,03$.
  Son premier terme est $C(0)=2\,500$.
• Ainsi, pour tout entier naturel $n$ : $$C(n)=2\,500\times 1,03^n$$

Question 4

Pour calculer $C(8)$, on utilise la formule explicite trouvée précédemment :
$$C(8)=2\,500\times 1,03^8\approx 3\,166,93$$

• Cela signifie qu’au début de l’année $2028$, monsieur H. aura acquis un capital d’environ $3\,166,93$ euros.

Question 5

a. Dans la cellule B3 apparaît la valeur de $C(1)$. Pour la calculer, il y a deux solutions.

• Soit on utilise la relation de récurrence : $C(n+1)=1,03C(n)$.
  On a ici : $C(1)=1,03 C(0)$. Et $C(0)$ occupe la cellule B2.
• Donc la formule à écrire dans B3 est :
  $$=1,03\ ^\ast\ \text{B2}$$
• Soit on utilise la relation explicite : $C(n)=2\,500\times 1,03^n$.
  On a alors : $C(1)=2\,500\times 1,03^1$. Et la valeur $n=1$ se trouve dans la cellule A3.
• Donc la formule à écrire dans B3 est :
  $$=2500\ ^\ast\ 1,03^{\ \wedge}\text{A3}$$

b. Sur la feuille de calcul, on cherche tout simplement dans la colonne B la première valeur qui est supérieure à $3\,000$.

• On trouve alors que le capital dépassera $3\,000\ €$ à partir du rang $n=7$, soit au début de l’année $2027$.

Question 6

a. $C$ est la suite géométrique de premier terme $C(0)=2\,500$ et de raison $(1+t)$.
$t$ est un taux d’augmentation, il est donc strictement positif, et $1+t > 1$.

• Donc la suite $C$ est croissante.

b. Pour tout entier $n$ :
$$C(n)=2\,500\times (1+t)^n$$

• On obtient donc :
  $$C(4)=2\,500\times (1+t)^4$$

On résout maintenant :
$$\begin{aligned} 2\,500×(1+t)^4=3\,000 &\Leftrightarrow (1+t)^4=\dfrac{3\,000}{2\,500} \\ &\Leftrightarrow (1+t)^4=1,2 \end{aligned}$$

On prend la racine $4\text{-ième}$ dans chaque membre de cette équation :
$$\begin{aligned} 1+t&=1,2^{\frac 14} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} t&=1,2^{\frac 14}-1 \\ &\approx 4,7\,\% \end{aligned}$$

• La solution de l’équation que nous cherchons est $4,7\,\%$.

c. D’après le résultat précédent, si $t\approx 4,7\,\%$, alors $C(4)$ atteint $3\,000\ €$.

• Il aurait donc fallu que le taux soit au moins de $4,7\,\%$ pour que le capital acquis dépasse $3\,000\ €$ dès $2024$.