Méthode : Utiliser les suites arithmétiques pour modéliser une situation

Fiche méthode

Utiliser les suites arithmétiques pour modéliser une situation

L’exercice corrigé de cette fiche permet d’appliquer les notions du cours « Croissance linéaire et suites arithmétiques » :

modéliser une situation par une suite numérique ;
déterminer la relation de récurrence et la formule explicite d’une suite ;
reconnaître une suite arithmétique ;
utiliser une suite arithmétique pour calculer des valeurs ;
déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ;
rechercher un seuil par la résolution d’une inéquation.

Énoncé

À l’occasion d’une fête de quartier, les habitants décident de créer un logo humain en forme de maisons mitoyennes. L’événement doit être filmé de manière aérienne par un drone.
On représente ci-dessous la disposition des habitants, chacun étant vu du ciel comme un point. La distance entre chaque habitant dans la chaîne est $1\ \text{m}$.

Pour une maison :

Figure 1 : Représentation d’une maison (image temporaire)

Pour deux maisons :

Figure 2 : Représentation de deux maisons (image temporaire)

Pour trois maisons :

Figure 3 : Représentation de trois maisons (image temporaire)

Question 1

Combien d’habitants sont nécessaires pour constituer une maison ? deux maisons ?

Question 2

On note $n$ le numéro de la figure, avec $n$ supérieur ou égal à $1$.
$n$ est également le nombre de maisons représentées sur la figure.

Pour tout entier $n\geq 1$, on note $u(n)$ le nombre d’habitants nécessaires pour réaliser la figure $n$.
Ainsi, $u(1)$ est le nombre d’habitants qu’il faut pour réaliser la figure 1.

a. Donner $u(1)$, $u(2)$ et $u(3)$.

b. Quelle est la nature de la suite $u$ ? Justifier et donner sa raison ainsi que son premier terme.

c. Donner l’expression explicite de $u(n)$ en fonction de $n$.

Question 3

Quel est le sens de variation de cette suite ? Donner une justification mathématique et une justification « concrète ».

Question 4

Calculer le nombre maximum de maisons réalisables si les $428$ habitants du quartier sont d’accord pour participer. Expliquer la démarche.

Question 5

Dans le quartier, la place où est filmée la fête est un rectangle de dimensions $15\ \text{m}$ sur $5\ \text{m}$.
Combien de maisons mitoyennes peut-on représenter au maximum en plaçant le « sol » des maisons sur la plus grande longueur ? Combien d’habitants faudra-t-il pour réaliser cette figure ?

Corrigé

Question 1

Il suffit de compter, sur les figures données, le nombre de points, qui représentent les personnes constituant les maisons.

Figure 1 : Représentation d’une maison (image temporaire)

Il faut $10$ personnes pour constituer une maison.

Figure 2 : Représentation de deux maisons (image temporaire)

Il faut $17$ personnes pour constituer deux maisons.

Question 2

a. La suite $u$ modélise le nombre d’habitants nécessaires pour réaliser les figures du logo humain.

$u(1)$ représente alors le nombre d’habitants nécessaires pour réaliser la figure 1, $u(2)$ celui pour réaliser la figure 2.

À la question 1, on a déjà compté : $u(1)=10$ et $u(2)=17$.

De la même façon, $u(3)$ représente le nombre d’habitants nécessaires pour réaliser la figure 3, constituée de $3$ maisons.

Figure 3 : Représentation de trois maisons (image temporaire)

On a donc $u(3)=24$.

b. Pour réaliser une maison supplémentaire, il faut ajouter $7$ nouveaux participants (en rouge ci-dessous) :

Constitution d’une maison supplémentaire (image temporaire)

Img-04 Constitution d’une maison supplémentaire

Ainsi, pour passer de $u(n)$ à $u(n+1)$, on ajoute $7$ :
$$u(n+1)=u(n)+7$$

On reconnaît la relation de récurrence d’une suite arithmétique, de raison $r=7$ et de premier terme $u(1)=10$.

c. On utilise la propriété du cours. Attention, comme le premier terme de la suite est $u(\green 1)$, on doit bien utiliser la formule explicite $u(n)=u(\green 1)+(n-\green 1)r$ pour trouver l’expression de $u(n)$ en fonction de $n$.

On a donc, pour tout entier $n\geq 1$ :
$$\begin{aligned} u(n)&=10+(n-1)\times 7 \\ &=10+7n-7 \\ &=7n+3 \end{aligned}$$

Question 3

La suite $u$ est une suite arithmétique de raison $7$, strictement positive.

On en déduit que $u$ est une suite strictement croissante.

En se plaçant dans la situation concrète de l’exercice, on peut également justifier la croissance stricte de cette suite en expliquant qu’il faut bien sûr des habitants supplémentaires pour constituer une nouvelle maison.

Ainsi, à chaque étape, le nombre d’habitants qui participent augmente.

Question 4

On cherche le nombre maximum de maisons réalisables avec $428$ habitants. On cherche donc $n$ tel que $u(n)\leq 428$. On résout cette inéquation, en utilisant la formule explicite établie à la question 2.c :
$$\begin{aligned} u(n)\leq 428&\Leftrightarrow 7n+3\leq 428 \\ &\Leftrightarrow 7n\leq 425 \\ &\Leftrightarrow n\leq \dfrac {425}7 \end{aligned}$$

En utilisant la calculatrice, on trouve :
$$\dfrac {425}7\approx 60,7$$

Le plus petit entier inférieur ou égal à $\frac{425}7$ est $60$.

On en déduit que, si les $428$ habitants participent, on pourra réaliser un logo humain de $60$ maisons au maximum.

Question 5

Dimension du « sol » d’une maison (image temporaire)

Le « sol » de chaque maison mesure $2\ \text{m}$.

La longueur de la place est $15\ \text{m}$.
Et $\frac {15}2=7,5$. Donc on peut placer $7$ maisons mitoyennes sur la plus grande longueur de la place. Le nombre d’habitants correspondant sera alors $u(7)$, que l’on calcule en utilisant la formule explicite établie à la question 2.c :
$$u(7)=7\times 7+3=49+3=52$$

Il faudra donc $52$ habitants pour réaliser cette figure.