Représenter un prisme, un cône, une pyramide et un cylindre
Introduction :
Dans la vie de tous les jours, nous rencontrons des objets que l’on représente en mathématiques par des solides. Nous avons déjà étudié le pavé droit. L’objectif de ce cours est d’agrandir notre champ de connaissance des solides et d’apprendre à représenter ces différents solides.
Pour cela, nous étudierons et représenterons successivement le prisme droit, la pyramide, le cylindre de révolution et enfin le cône de révolution.
Le prisme droit
Le prisme droit
Généralités
Généralités
Définition
Prisme droit :
Un prisme droit est un solide dont deux des faces sont superposables et parallèles.
- Les deux faces superposables et parallèles d’un prisme droit sont appelées bases.
- Les bases d’un prisme droit sont reliées par des faces rectangulaires, appelées faces latérales.
- La hauteur d’un prisme droit correspond à la hauteur des rectangles qui composent ses faces latérales.
Propriété
- Les arêtes latérales sont parallèles entre elles et perpendiculaires aux plans des bases.
- Elles sont de même longueur ; c’est la hauteur du prisme.
Cas particuliers
Cas particuliers
Le pavé droit (parallélépipède rectangle) est un prisme droit à bases rectangulaires : toutes ses faces sont des rectangles.
Le cube est un prisme droit dont toutes les faces sont des carrés.
Patron d’un prisme droit
Patron d’un prisme droit
À retenir
Le patron d’un prisme droit est composé de deux bases identiques et d’autant de rectangles que le polygone de base a de côtés.
Exemple
Construisons un patron du prisme droit ci-dessous.
Le plus simple ici est de « poser » le prisme sur le rectangle de $6 \times 3\text{ cm}$ et de faire tomber les autres faces tout autour.
Cela donne le patron suivant :
La pyramide
La pyramide
Généralités
Généralités
Définition
Pyramide :
Une pyramide est un solide qui a pour base un polygone et pour faces latérales des triangles qui ont un sommet en commun.
- Le sommet commun des faces latérales d’un pyramide est appelé sommet de la pyramide.
- La distance entre le sommet d’une pyramide et sa base correspond à la hauteur de la pyramide.
Cas particuliers
Cas particuliers
Une pyramide est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier (tous ses côtés sont de même longueur : carré, triangle équilatéral…).
Propriété
Soient $O$ le centre du polygone régulier de base et $S$ le sommet de la pyramide :
- $[SO]$ est la hauteur de la pyramide ;
- toutes les faces latérales sont des triangles isocèles en $S$ et superposables.
Patron d’une pyramide
Patron d’une pyramide
À retenir
Le patron d’une pyramide est composé de la base et d’autant de triangles que la base a de côtés.
Exemple
Construisons un patron de la pyramide ci-dessous.
Ce patron sera composé de la base $ABC$ et de trois triangles $ACS$, $ABS$ et $BCS$.
Pour le construire :
- on commence par tracer la base $ABC$ ;
- depuis le milieu de $[AC]$, on trace ensuite une perpendiculaire à $(AC)$ et on positionne le point $S$ à $6\text{ cm}$ de $(AC)$. On remarque que le triangle $ACS$ est isocèle en $S$ avec $AS = CS$ ;
- on reporte ensuite la longueur $AS$ (ou $CS$) depuis les points $A$ et $C$ en traçant des arcs de cercles ;
- on trace enfin deux autres arcs de cercle issus de $B$ et de rayon $7,55\text{ cm}$. Les intersections de ces arcs de cercle avec les précédents permettent de déterminer les deux autres « positions » du point $S$ ;
- on termine le patron en traçant les triangles $ABS$ et $BCS$.
Cela donne le patron suivant :
Le cylindre de révolution
Le cylindre de révolution
Généralités
Généralités
Définition
Cylindre de révolution :
Un cylindre de révolution est un solide obtenu par la rotation d’un rectangle autour de l’un de ses côtés.
- Les bases d’un cylindre de révolution sont deux disques de même rayon.
- Le rayon d’un cylindre de révolution correspond au rayon des bases de ce cylindre.
- La distance entre les deux bases d’un cylindre de révolution correspond à sa hauteur.
- La face latérale d’un cylindre de révolution est une surface courbe.
Propriété
- Les plans des bases d’un cylindre sont parallèles.
- La hauteur du cylindre est perpendiculaire aux plans des bases.
- Déroulée, la face latérale d’un cylindre est un rectangle.
Patron d’un cylindre de révolution
Patron d’un cylindre de révolution
Le patron d’un cylindre de hauteur $h$ et de rayon $r$ est composé des deux disques de base (de rayon $r$) répartis de part et d’autre d’un rectangle (surface latérale du cylindre). Ce rectangle a pour hauteur la hauteur du cylindre $h$ et pour longueur la circonférence des disques de bases égale à $2\pi r$.
Exemple
Construisons un patron du cylindre de révolution ci-dessous.
Ce patron est composé de deux disques de rayon $2\text{ cm}$ répartis de part et d’autre d’un rectangle de hauteur $5\text{ cm}$ et de longueur $2 \times \pi \times r$ soit : $2 \times \pi \times 2 \approx 12,6\text{ cm}$.
Cela donne le patron suivant :
Le cône de révolution
Le cône de révolution
Généralités
Généralités
Définition
Cône de révolution :
Un cône de révolution est un solide obtenu par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un des côtés de l’angle droit.
- Une extrémité de ce côté est le sommet du cône.
- L’autre extémité est le centre de la base du cône, disque dont le rayon est appelé rayon du cône.
- La distance entre le sommet et la base est la hauteur du cône.
- Une génératrice du cône est un segment reliant le sommet à un point du cercle base.
Propriété
- La hauteur du cône est perpendiculaire au plan de base.
- La surface latérale du cône est appelée secteur circulaire.
Patron d’un cône de révolution
Patron d’un cône de révolution
Le patron d’un cône de hauteur $h$ et de rayon $r$ est composé du disque de base (de rayon $r$) et d’un secteur circulaire (surface latérale du cylindre). Ce secteur circulaire a pour rayon la longueur d’une génératrice et pour longueur la circonférence du disque de base égale à $2 \pi r$.
Exemple
Construisons un patron du cône ci-dessous.
Le patron de ce cône est composé d’un disque de rayon $1,5\text{ cm}$ et d’un secteur circulaire de rayon $6\text{ cm}$ et de longueur $2 \times \pi \times 1,5$
$2\times \pi \times 6$ serait la circonférence d’un cercle de rayon $6\text{ cm}$
Or $1,5 = \frac 14 \times 6$ donc $2 \times \pi \times 1,5$ est la longueur de l’arc d’$\frac 14$ de cercle de rayon $6\text{ cm}$.
L’angle du secteur circulaire recherché mesure donc $\frac 14$ de $360\degree$ soit $90\degree$.
Cela donne le patron suivant :
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons étudié différents solides : le prisme droit, la pyramide, le cylindre de révolution et le cône de révolution. Nous avons également appris à les représenter en perspective cavalière et en 3D, par la construction d’un patron.