Cours : Variations et courbes représentatives de fonctions

Lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction

Déduire du signe de la dérivée le sens de variation d’une fonction

Commençons cette leçon par un théorème très important qui permet de déduire le sens de variation d’une fonction à partir du signe de sa dérivée.

Théorème

Sens de variation d’une fonction à partir de sa dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

• si $f'(x)\leq0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est décroissante sur $I$ ;
• si $f'(x)\geq0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est croissante sur $I$.

Ce théorème est utilisé pour étudier les variations d’une fonction sur un intervalle donné.

On peut décomposer encore un peu plus les deux points du théorème précédent.

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

• si $f'(x)<0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$ ;
• si $f'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ ;
• si $f'(x)=0$ pour tout $x$ de $I$, alors la fonction $f$ est constante sur $I$.

Déduire du sens de variation le signe de la dérivée

On sait donc décrire les variations d’une fonction en connaissant le signe de sa dérivée. Le procédé contraire existe également, il permet de donner le signe de la dérivée quand on connaît les variations de la fonction.

Propriété

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

• si $f$ est croissante sur $I$, alors, pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)\geq0$ ;
• si $f$ est décroissante sur $I$, alors, pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)\leq0$ ;
• si $f$ est constante sur $I$, alors, pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x)=0$.

Interprétation graphique

• Si $f$ est dérivable et croissante sur $I$

Les tangentes à la courbe $\mathscr C$ ont toutes un coefficient directeur :

• soit strictement positif ;
• soit égal à $0$ (tangente horizontale).

Rappel

Rappelons que le coefficient directeur de la tangente en un point d’abscisse $a$ est également le nombre dérivé en $a$.

• On voit graphiquement que $f'(x)\ge0$ pour tout $x$ de $I$.
• Si $f$ est dérivable et décroissante sur $I$

Les tangentes à la courbe $\mathscr C$ ont toutes un coefficient directeur :

• soit strictement négatif ;
• soit égal à $0$ (tangente horizontale).
• On voit graphiquement que $f'(x)\le0$ pour tout $x$ de $I$.

Extremum d’une fonction

Définition

Définition

Extremum d’une fonction :

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de cet intervalle :

• $f$ admet un maximum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\le f(a)$. Le maximum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$ ;
• $f$ admet un minimum en $a$ sur $I$ lorsque, pour tout $x$ appartenant à $I$, $f(x)\ge f(a)$. Le minimum vaut $f(a)$ et est atteint en $a$.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

• Il est possible de trouver les extremums d’une fonction avec un algorithme sur une calculatrice (Casio ou TI).

Exemple :
Avec la fonction $f$ définie sur $[-5\ ;\ 3]$ et représentée sur ce graphique :

• Le maximum de $f$ sur $[-5\ ;\ 3]$ est $3$ ; il est atteint en $x=-5$.
• Le minimum de $f$ sur $[-5\ ;\ 3]$ est $-2$ ; il est atteint en $x=-3$.
• Le réel $1$ est un maximum local de $f$, car $1$ est le maximum de $f$ sur l’intervalle $]-2\ ;\ 0[$, par exemple.
• Le réel $-1$ est un minimum local de $f$ car $-1$ est le minimum de $f$ sur l’intervalle $]0\ ;\ 2[$, par exemple.

Lien entre extremum et dérivation

Les trois cas possibles d’extremums :

Exemples d’étude de fonction

Astuce

Les étapes d’une étude de fonction sont les suivantes :

• Chercher l’ensemble de définition s’il n’est pas donné dans l’énoncé.
• Calculer la dérivée en donnant son intervalle de définition.
• Étudier le signe de cette dérivée et faire le lien avec les variations de la fonction.
• Calculer les éventuels extremums afin de compléter le tableau de variations.

Exemple 1

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$. On cherche d’abord l’ensemble de définition de $f$ : il s’agit d’une fonction rationnelle, le dénominateur ne doit pas s’annuler ; la valeur interdite est donc $x=-3$.

• L’ensemble de définition est :

$\begin{aligned} D_f&=]-\infty\ ;\ -3[\ \cup\ ]-3\ ;\ +\infty[ \\ D_f&=\mathbb R\setminus\lbrace -3\rbrace \end{aligned}$

• Calculons maintenant la dérivée. La fonction $f$ est de la forme $\dfrac uv$ avec :
• $u(x)=2x-1$, donc $u'(x)=2$ ;
• $v(x)=x+3$, donc $v'(x)=1$.

On a alors :

$\begin{aligned}f'(x)&=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} \\ &=\dfrac{2\times(x+3)-(2x-1)\times 1}{(x+3)^2} \\ &=\dfrac{2x+6-2x+1}{(x+3)^2} \\ &=\dfrac{7}{(x+3)^2}\end{aligned}$

• La dérivée est donc supérieure strictement à $0$ sur les deux intervalles de son ensemble de définition.
• On peut alors construire le tableau suivant :

Attention

Il ne faut pas oublier la « double barre » correspondant à la valeur interdite.

La dérivée ne s’annulant sur aucun des deux intervalles, la fonction $f$ n’admet ni minimum ni maximum.

Ce type de tableau pourra être complété en terminale avec le calcul des limites en $-\infty$ et $+\infty$.

À retenir

Lorsque la dérivée est positive, la fonction est croissante et, lorsque la dérivée est négative, la fonction est décroissante.

Exemple 2

Soit $f$ une fonction polynôme de degré $2$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels ($a\neq0$). $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle et : $f'(x) = 2ax + b$ pour tout $x$ réel.

Étudions le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ réel. $f'(x)=2ax+b>0\Leftrightarrow 2ax>-b$

• Si $a>0$

$\begin{aligned} f'(x)=2ax+b>0&\Leftrightarrow 2ax>-b \\ &\Leftrightarrow x>-\dfrac{b}{2a} \end{aligned}$

$\begin{aligned} f'(x)=2ax+b<0&\Leftrightarrow 2ax<-b \\ &\Leftrightarrow x<-\dfrac{b}{2a}\end{aligned}$

$f'(x)=2ax+b=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}$

• $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\ ;\ -\frac{b}{2a}]$, puis strictement croissante sur $[-\frac{b}{2a}\ ;\ +\infty [$.
• $f$ admet un minimum $\beta$, atteint en $x=-\frac{b}{2a}$.

La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S$ de coordonnées $(\alpha=-\frac{b}{2a} \ ;\ \beta = f(-\frac{b}{2a}))$ et avec les branches tournées vers le haut.

• Si $a<0$

$\begin{aligned} f'(x)=2ax+b>0&\Leftrightarrow 2ax>-b \\ &\Leftrightarrow x<-\dfrac{b}{2a}\text{\ car\ }a<0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} f'(x)=2ax+b<0&\Leftrightarrow 2ax<-b \\\ &\Leftrightarrow x>-\dfrac{b}{2a}\text{\ car\ }a<0 \end{aligned}$

$f'(x)=2ax+b=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}$

• $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\ ;\ -\frac{b}{2a}]$, puis strictement décroissante sur $[-\frac{b}{2a}\ ;\ +\infty[$.
• $f $ admet un maximum $\beta $, atteint en $x=-\frac{b}{2a}$.

La courbe représentative de $f$ est une parabole de sommet $S$ de coordonnées $(\alpha=-\frac{b}{2a} \ ;\ \beta=f(-\frac{b}{2a}))$ et avec les branches tournées vers le bas.

Astuce

Pour trouver le minimum et le maximum d’une fonction, on peut appliquer un algorithme sur une calculatrice (Casio ou TI).

Exemple 3

Soit la fonction $g$ définie sur $[-5\ ;\ 5]$ par $g(x)=\dfrac{4}{3}x^3+2x^2-8x-1$.

• Calculons maintenant la dérivée de la fonction $g$ :

$g'(x)=4x^2+4x-8$

• On fait un tableau de signes de la dérivée pour en déduire le tableau de variations de la fonction.

La dérivée étant un polynôme du second degré, nous allons calculer le discriminant :

$\begin{aligned} \Delta &=b^2-4ac \\ &=4^2-4×4×(-8) \\&=16+128 \\ &=144\\ \Delta&>0 \end{aligned}$

• Le discriminant étant positif, le trinôme admet deux racines distinctes :

$\text{et} \Bigg\lbrace \begin{aligned} x_1&=\dfrac{-b-\sqrt \Delta}{2a}=\dfrac{-4-12}{8}=\dfrac{-16}{8}=-2 \\ x_2&=\dfrac{-b+\sqrt \Delta}{2a}=\dfrac{-4+12}{8}=\dfrac{8}{8}=1 \end{aligned}$

Le polynôme est du signe de $a$, c’est-à-dire positif à l’extérieur des racines.

• La dérivée est donc positive sur $[-5\ ;\ 2]\ \cup\ [1\ ;\ 5]$ et négative sur $[-2\ ;\ 1]$.

• Il reste ensuite à calculer les extremums :

$\begin{aligned} g(-5)&=\dfrac{4}{3}\times(-5)^3+2\times(-5)^2-8\times(-5)-1=-\dfrac{233}{3}\approx-77,7 \\ g(-2)&=\dfrac{4}{3}\times(-2)^3+2\times(-2)^2-8\times (-2)-1=\dfrac{37}{3}\approx12,3 \\ g(1)&=\dfrac{4}{3}\times1^3+2\times 1^2-8\times 1-1=-\dfrac{17}{3}\approx-5,7 \\ g(5)&=\dfrac{4}{3}\times5^3+2\times 5^2-8\times 5-1=\dfrac{527}{3}\approx175,7 \end{aligned}$

• Le minimum de la fonction est $-\dfrac{233}{3}$ et il est atteint en $x=-5$.
• Le maximum de la fonction est $\dfrac{527}{3}$ et il est atteint en $x=5$.

Exemple 4

Nous souhaitons montrer l’inégalité $\text{e}^x\geq x+1$ pour tout nombre $x$ réel. Pour cela, nous allons étudier la fonction $h$ définie par $h(x)=\text{e}^x-(x+1)=\text{e}^x-x-1$ pour tout nombre $x$ réel, et montrer qu’elle est toujours positive.

• La fonction $h$ est dérivable sur l’ensemble des nombres réels en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.

$h'(x)=\text{e}^x-1$ pour tout nombre $x$ réel, car la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle.

• Étudions le signe de $h'(x)$.

$\begin{aligned} h'(x)>0&\Leftrightarrow\text{e}^x-1>0 \\ &\Leftrightarrow\text{e}^x>1 \\&\Leftrightarrow\text{e}^x>\text{e}^0 \\ &\Leftrightarrow x>0 \end{aligned}$
car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$

De même :
$\begin{aligned} h'(x)<0&\Leftrightarrow\text{e}^x-1<0 \\ &\Leftrightarrow\text{e}^x<1 \\ &\Leftrightarrow\text{e}^x<\text{e}^0 \\ &\Leftrightarrow x<0 \end{aligned}$

$h'(x)=0\Leftrightarrow x=0$

• La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $\mathbb R^-$ et strictement croissante sur ${\mathbb{R}}^+$ et $h$ atteint un minimum en $x=0$.

$\begin{aligned} h(0)&=\text{e}^0-0-1 \\ &=1-1 \\ &=0 \end{aligned}$

Donc : $h(x)\geq h(0)=0$ pour tout nombre $x$ réel. Nous en déduisons que $\text{e}^x-x-1\geq 0$ pour tout nombre $x$ réel.

• Finalement, $\mathrm{e}^x\geq x+1$ pour tout nombre $x$ réel.

Remarque : De cette inégalité, nous déduisons aussi que la courbe représentative de la fonction exponentielle est toujours située au-dessus de la courbe représentative de la fonction $x\mapsto x+1$.