Cours : Variation globale et fonction dérivée

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=0,2x^2$.
En posant $u(x)=x^2$, on obtient $f(x)=0,2 \times u(x)$.
Or, $u$ est la fonction carré, donc $u^{\prime}(x)=2x$.

• Comme produit d’une fonction dérivable (la fonction carré) par un réel ($0,2$), $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et, pour tout réel $x$ :
  $$\begin{aligned} f^{\prime}(x)&=0,2\times u^{\prime}(x) \\ &=0,2\times 2x \\ &=0,4x \end{aligned}$$

On peut maintenant calculer le nombre dérivé de $f$ en n’importe quel réel. Par exemple :
$$f^{\prime}(5)=0,4\times 5=2$$

• Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ en son point d’abscisse $5$ vaut donc $2$. (Ce qui confirme ce qu’on a trouvé graphiquement dans un exemple du cours précédent.)

Soit $p$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par :
$$p(x)=\blue{-x^3}+\green{\dfrac 32x^2}+\pink{6x}\purple{-3}$$

La fonction $p$ est la somme des fonctions suivantes, toutes dérivables sur $\mathbb R$ :

• le produit de la fonction cube par $-1$ ;
• le produit de la fonction carré par $\frac 32$ ;
• le produit de la fonction identité par $6$ ;
• une fonction constante.

La fonction $p$ est donc dérivable sur $\mathbb R$ et, pour tout réel $x$ :
$$\begin{aligned} p^{\prime}(x)&=\blue{-3x^2}+\green{\dfrac 32\times 2x}+\pink{6\times 1} + \purple 0 \\ &=-3 x^2+3x+6 \end{aligned}$$

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=\green{-2x^2}+\pink{12x}\purple{-13}$.

La fonction $g$ est la somme des fonctions suivantes, toutes dérivables sur $\mathbb R$ :

• le produit de la fonction carré par $-2$ ;
• le produit de la fonction identité par $12$ ;
• une fonction constante.

La fonction $g$ est donc dérivable sur $\mathbb R$ et, pour tout réel $x$ :
$$\begin{aligned} g^{\prime}(x)&=\green{-2\times 2x}+\pink{12\times 1} + \purple 0 \\ &=-4 x+12 \end{aligned}$$

$g^{\prime}(x)$ est de la forme $mx+p$, donc la fonction dérivée $g^{\prime}$ est une fonction affine. On sait alors qu’elle s’annule en $x=-\frac pm=-\frac{12}{-4}=3$.
De plus, comme $m=-4$ est négatif :

• pour tout $x\in\ ]-\infty\ ;\, 3]$, $g^{\prime}(x) \geq 0$,
• donc $g$ est croissante sur $]-\infty\ ;\, 3]$ ;
• pour tout $x\in [3\ ;\, +\infty[$, $g^{\prime}(x) \leq 0$,
• donc $g$ est décroissante sur $[3\ ;\, +\infty[$.

On peut calculer $g(3)$ : $$\begin{aligned} g(3)&=-2\times 3^2+12\times 3-13 \\ &=-18+36-13 \\ &=5 \end{aligned}$$

On obtient alors le tableau de variations suivant :

Le tableau permet de voir que la fonction $g$ admet un maximum, atteint en $x=3$ et qui vaut $5$.

Soit $p$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par :
$$p(x)=-x^3+\dfrac 32x^2+6x-3$$

On a montré plus haut que, pour tout réel $x$ :
$$p^{\prime}(x)=-3 x^2+3x+6$$

On peut aussi montrer que :
$$p^{\prime}(x)=-3(x+1)(x-2)$$ (Il suffit de développer cette seconde expression pour retrouver la première trouvée.)

Comme on connaît la forme factorisée de $p^{\prime}(x)$, on peut étudier son signe au moyen d’un tableau de signes (en utilisant les propriétés sur le signe d’une fonction affine, comme on l’a fait dans l’exemple précédent) :

On calcule les images suivantes :
$$\begin{aligned} p(-1)&=-(-1)^3+\dfrac 32\times (-1)^2+6\times (-1)-3 \\ &=1+\dfrac 32-6-3 \\ &=-8+\dfrac 32 \\ &=-\dfrac {13}2 \\ \\ p(2)&=-2^3+\dfrac 32\times 2^2+6\times 2-3 \\ &=-8+6+12-3 \\ &=7 \end{aligned}$$

On peut maintenant compléter le tableau, en déduisant les variations de $p$ du signe de $p^{\prime}(x)$ :

En conclusion, la fonction $p$ est :

• décroissante sur $]-\infty\ ;\, -1]$ ;
• croissante sur $[-1\ ;\, 2]$ ;
• de nouveau décroissante sur $[2\ ;\, +\infty[$.