Le langage littéral et les priorités opératoires : cours de 5eme

Utiliser le langage littéral et connaître les priorités opératoires

Introduction :

Dans certaines situations on peut être amené à répéter un même calcul avec différentes valeurs numériques. Pour simplifier la manipulation et l’analyse de ces calculs on utilise alors le langage littéral.
Il faut savoir que dans une expression littérale, une lettre sous-entend plusieurs valeurs numériques.

Dans un premier temps nous verrons ce qu’est une expression littérale. Puis, dans une deuxième partie, nous découvrirons comment l’utiliser. Dans une troisième partie, nous aborderons la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction. En quatrième partie, nous verrons comment produire une expression littérale. Enfin, nous verrons comment tester une égalité.

Expressions littérales

Des nombres et des lettres

Définition

Expression littérale :

Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.

Exemples

Exemple

L’aire $A$ d’un rectangle de longueur $\text L$ et de largeur $\text l$ est donnée par la formule ; $\text A=\text L\times\text l$
Chez un fleuriste, une rose coûte $2$ € et la livraison à domicile coûte $10$ €.
$n$ est le nombre de roses contenues dans un bouquet et $p$ est le prix de ce bouquet livré à domicile.
L’énoncé de ce problème se traduit par $\text {p}=10+2\times\text {n}$
« Je choisis un nombre $a$. Je le multiplie par $7$. J’ajoute $9$ au produit obtenu. »
Ce programme de calcul peut-être traduit par l’expression $\text a\times7+9$

Conventions d’écriture

À retenir

On peut supprimer le signe $\times$ lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse.

Exemple

Le produit $3\times a$ s’écrit plus simplement : $3\times a=3 a$
Cette règle ne s’applique pas pour le produit $3\times5$ qui ne peut pas s’écrire $35$ !
$3\times5\neq35$
Le produit $\text a\times\text b$ s’écrit plus simplement $ab$ :
$a \times b=ab$
Le produit $7\times(x+2)$ s’écrit plus simplement $7(x+2)$ :
$7\times(x+2)=7(x+2)$
$0\times a=0$
$1\times a=a$ (plutôt que $1a$)
$\text a\times5=5\text a$ (plutôt que $a5$)
Le produit $a \times a$ s’écrit plus simplement $a^2$ et se lit « au carré ».
Le produits $a \times a\times a$ s’écrit plus simplement $a^3$ et se lit « au cube ».

Attention

Ne pas confondre $a^2$ et $2a$ !
$a^2=a \times a$ alors que $2a=2\times a=a+ a$

Utiliser une expression littérale

Définition

À retenir

Utiliser une expression littérale c’est remplacer dans cette expression une ou plusieurs lettres par des nombres.

Exemple

Lors d’un contrôle, un professeur de langue vivante attribue une note d’écrit $e$ de coefficient $2$ et une note d’oral $o$ de coefficient $3$.
Pour calculer la note finale $n$, il applique la formule $n= \dfrac{2 e+3 o}{2+3}$

	Tom	Laure
Écrit	9	13
Oral	15	10

Calculons la note finale de Tom :
$\text n= \dfrac{2\times9+3\times15}{5}=12,6$

Quand on remplace les lettres par des nombres, il faut penser à faire apparaître les signes $\times$ nécessaires.

Calculons la note finale de Laure :
$\text n= \dfrac{2\times13+3\times10}{5}=11,2$

Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction

Règle de distributivité

Propriété

Pour tous les nombres $k$, $a$ et $b$, on a :
$ k\times(a+ b)=\text k\times a+ k\times b$
$ k\times(a- b)=k\times a- k\times b$
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction. Selon la convention d’écriture, on écrit plus simplement :
$k(a+b)=ka+ kb$
$k(a- b)=ka-kb$

Développer une expression

Définition

Développer une expression :

Développer une expression écrite sous forme d’un produit c’est en donner une autre écriture sous forme d’une somme ou d’une différence.

$$\underbrace{\text {produit}\rightarrow\text{somme}}_{\textstyle k(a+ b) = ka+ kb}$$

$$\underbrace{\text {produit}\rightarrow\text{différence}}_{\textstyle\text k(a-b) = ka-kb}$$

Exemple

Développons $A=3(x+2)$
Multiplions par $3$ chaque terme de la somme $(x+2)$ :
$A=3\times x+3\times2$
Simplifions l’écriture :
$A=3x+6$
Développons $B=7(m-3)$
Multiplions par $7$ chaque terme de la différence $(m-3)$ :
$B=7\times m-7\times3$
Simplifions l’écriture :
$B=7 m-21$

Factoriser une expression

Définition

Factoriser une expression :

Factoriser une expression écrite sous forme d’une somme ou d’une différence, c’est en donner une autre écriture sous forme d’un produit.

$$\underbrace{\text {somme}\rightarrow\text{produit}}_{\textstyle ka+ kb=\text k(a+ b) }$$ $$\underbrace{\text {différence}\rightarrow\text{produit}}_{\textstyle ka-k b= k(a- b)}$$

Exemple

Factorisons $C=3x+xy$ :
On remarque que $x$ est un facteur commun à $3x$ et $xy$ ;
$C=x \times(3+y)$
$C=x(3+y)$ $\longleftarrow$ on simplifie l’écriture.
Nous allons à présent factoriser $D= 5x+20$
$D= 5\times x+5\times4$ $\longleftarrow$ on remplace $20$ par $5\times4$.
On remarque que $5$ est un facteur commun à $5\times x$ et $5\times4$ ;
$D= 5\times (x+4)$ $\longleftarrow$ on factorise par $5$ l’expression ;
$D= 5(x+4)$ $\longleftarrow$ on simplifie l’écriture.

Utiliser la distributivité pour calculer facilement

Exemple

Calculons mentalement $E=28\times1001$ :
On remarque que $1001=1000+1$
Soit $E=28\times(1000+1)$
Développons :
$\begin{aligned}E&=28\times1000+28\times1\\ E&=28000+28\\ E&=28028\end {aligned}$
Calculons mentalement $F=45\times98$ ;
Remarquons que $F=45\times(100-2)$
Développons :
$\begin{aligned}F&=45\times100-45\times2\\ F&=4500-90\\ F&=4410\end{aligned}$
Calculons mentalement $G=19\times4+19\times6$
On remarque que le facteur commun est $19$
Factorisons :
$\begin{aligned}G&=19\times(4+6)\\ G&=19\times10\\ G&=190\end{aligned}$
Calculons mentalement $H=4,5\times8-8\times2,5$
On remarque que le facteur commun est $8$
Factorisons :
$\begin{aligned}H&=8\times(4,5-2,5)\\ H&=8\times2\\ H&=16\end{aligned}$

Produire une expression littérale

Exemple

Voici deux programmes de calcul :

Programme 1 :

Choisir un nombre
Multiplier par $4$
Soustraire $10$

Programme 2 :

Choisir un nombre
Soustraire $2,5$
Multiplier par $4$

Calculons les nombres obtenus avec ces deux programmes lorsqu’on choisit au départ $5$ puis $9,5$
Que remarque-t-on ?

Programme 1 :

$5:^{\underrightarrow{\times4}}:20:^{\underrightarrow{-10}}:10$
$9,5:^{\underrightarrow{\times4}}:38:^{\underrightarrow{-10}}:28$

Programme 2 :

$5:^{\underrightarrow{-2,5}}:2,5:^{\underrightarrow{\times4}}:10$
$9,5:^{\underrightarrow{-2,5}}:7:^{\underrightarrow{\times4}}:28$

Ces deux programmes donnent les mêmes résultats pour les deux nombres choisis, $5$ et $9,5$
Cette remarque est-elle vraie pour n’importe quel nombre choisi au départ ?
Justification :

Choisissons un nombre de départ $x$.

Programme 1 :
$x:^{\underrightarrow{\times4}}:x\times 4:^{\underrightarrow{-10}}:x\times4-10$ ou $4x-10$
Programme 2 :
$x:^{\underrightarrow{-2,5}}:x-2,5:^{\underrightarrow{\times4}}:4\times(x-2,5)$

Or, en développant $4\times(x-2,5)$, on obtient : $4\times x-4\times2,5$ ou $4x-10$.
Donc quel que soit le nombre choisi au départ, nous obtenons le même résultat avec chacun des programmes.

Tester une égalité

Définition

Égalité :

Une égalité est une écriture constituée de deux expressions (ou membres) séparées par le signe « $=$ ».

Exemple

$\underbrace{4+5}_{\text{membre de gauche}}=\underbrace{3\times3}_{\text{membre de droite}}$

À retenir

Une égalité où interviennent des expressions littérales peut être vraie pour certaines valeurs affectées aux lettres et fausse pour d’autres.

Exemple

L’égalité $5+x=8$

est vraie pour $x=3$, en effet $5+3=8$
est fausse pour $x=4$, en effet $5+4\neq8$

Tester une égalité

Méthode :

Pour tester si une égalité est vraie pour des valeurs numériques attribuées aux lettres :

on calcule la valeur du membre de gauche ;
on calcule la valeur du membre de droite ;
on observe l’égalité ou non des deux valeurs obtenues et on conclut.

Exemple

Considérons l’égalité $5x-3=6+2x$.
Si nous remplaçons $x$ par $3$ :

le membre de gauche donne $5\times 3-3=15-3=12$ ;
le membre de droite donne $6+2\times3=6+6=12$ ; Donc l’égalité est vraie pour $x=3$

Conclusion :

Avec un ordinateur, nous utilisons le tableur pour calculer la valeur d’une expression littérale, pour faire fonctionner un programme de calcul ou pour tester des égalités. Les calculs sont ainsi automatisés.

Cours : Utiliser le langage littéral et connaître les priorités opératoires

Expressions littérales

Des nombres et des lettres

Exemples

Conventions d’écriture

Utiliser une expression littérale

Définition

Exemple

Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction

Règle de distributivité

Développer une expression

Factoriser une expression

Utiliser la distributivité pour calculer facilement

Produire une expression littérale

Tester une égalité

Définition

Tester une égalité