Identités remarquables : distributivité et factorisation
Introduction :
Nous allons découvrir les trois identités remarquables et les utiliser :
- pour développer ou factoriser une expression littérale ;
- pour effectuer mentalement du calcul numérique.
Dans un premier temps, nous verrons ce qu’est la double distributivité. Puis, nous nous intéresserons aux identités remarquables. Enfin, nous verrons comment utiliser les identités remarquables sur des exemples numériques.
La double distributivité
La double distributivité
Approche géométrique
Approche géométrique
Exprimons de deux façons l’aire du rectangle $EFGH$.
La longueur $EF$ du rectangle $EFGH$ est égale à $(a+b)$.
La largeur $FG$ du rectangle $EFGH$ est égale à $(c+d)$.
L’aire d’un rectangle se calcule avec la formule : $\text{longueur} \times \text{largeur}$, donc ici :
$(a+b) \times (c+d)$ soit : $(a+b)(c+d)$
L’aire du rectangle $EFGH$ est la somme des aires des quatre rectangles $I$, $II$, $III$ et $IV$.
Aire du rectangle $I=a\times c=ac$
Aire du rectangle $II= a \times d= ad$
Aire du rectangle $III=b \times c=bc$
Aire du rectangle $IV= b \times d=bd$
- Donc $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Double distributivité
Double distributivité
Propriété
$a$, $b$, $c$ et $d$ étant des nombres relatifs : $$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
Définition
Développer :
Développer un produit, c’est le transformer en une somme algébrique.
Attention
Pour chaque produit, il faut respecter la règle des signes en distribuant.
Exemple
$$(7x-4)(6x+1)$$
Développons : $$(7x-4)(6x+1)=7x \times 6x + 7x \times 1 -4 \times 6x - 4 \times 1$$ Réduisons : $$\begin{aligned}(7x-4)(6x+1)&=42 x^2 + 7x-24x-4\\ &=42 x^2 -17x -4\end{aligned}$$
Les identités remarquables
Les identités remarquables
Le carré d’une somme
Le carré d’une somme
À retenir
$a$ et $b$ étant des nombres relatifs :
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
- $2ab$ est le double produit.
Démonstration
Développons $(a+b)^2=(a+b) \times (a+b)$
$(a+b)^2=a \times a+a\times b+ b\times a+ b \times b$
$(a+b)^2= a^2+ab+ab+b^2$
$(a+b)^2=a^2+2ab +b^2$
Exemple
Développons $(x+3)^2$
On utilise $(a+b)^2= a^2+2ab +b^2$
$$(x+3)^2=x^2 +2\times x \times 3 + 3^2$$
On réduit :
$$(x+3)^2=x^2+ 6x +9$$
Le carré d’une différence
Le carré d’une différence
À retenir
$a$ et $b$ étant des nombres relatifs :
$$(a-b)^2= a^2-2ab +b^2$$
Démonstration
Développons $(a-b)^2=(a-b)\times (a-b)$
$(a-b)^2=a \times a -a\times b- b\times a+ b\times b$
$(a-b)^2= a^2-ab-ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab +b^2$
Exemple
Développons $(7-x)^2$
On utilise $(a-b)^2=a^2-2ab + b^2$
$$(7-x)^2=7^2-2\times 7 \times x +x^2$$
On réduit : $$(7-x)^2=49-14x+x^2$$
Le produit d’une somme par une différence
Le produit d’une somme par une différence
À retenir
$a$ et $b$ étant deux nombres relatifs : $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
- $a^2-b^2$ est la différence des deux carrés.
Démonstration
Développons $(a+b)(a-b)$
$\begin{aligned}(a+b)(a-b)&= a\times a-a\times b+b\times a-b\times b \\ (a+b)(a-b)&=a^2-ab+ab-b^2\\ (a+b)(a-b)&=a^2-b^2 \end {aligned}$
Exemple
Développons $(3x+7)(3x-7)$
On utilise $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$$(3x+7)(3x-7)=(3x)^2-7^2$$
On réduit : $$(3x+7)(3x-7)=9x^2-49$$
Utiliser les identités remarquables sur des exemples numériques
Utiliser les identités remarquables sur des exemples numériques
Les identités remarquables sont parfois utiles pour effectuer des calculs numériques sans calculatrice.
Exemple
- Calculons $103^2$
On décompose $103$ en $100+3$
$$103^2=(100 +3)^2$$
On utilise l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2 +2ab +b^2$
$$\begin {aligned}(100+ 3)^2&=100^2+2 \times 100 \times 3+3^2\\ (100+ 3)^2&=10000+600+9\\ (100+ 3)^2&=10609 \\ 103^2 &=10609\end {aligned}$$
- Calculons $29^2$
On décompose $29$ en $30-1$
$$29^2=(30 -1)^2$$
On utilise l’identité remarquable $(a-b)^2=a^2 -2ab +b^2$
$$\begin{aligned}(30-1)^2&=30^2-2 \times 30 \times 1 +1^2\\ (30-1)^2 &=900-60+1\\ (30-1)^2&=841\\ 29^2&=841\end{aligned}$$
- Calculons $999 \times 1001$
On décompose $999$ en $1000-1$ et $1001$ en $1000 +1$
$$999\times 1001= (1000 -1)(1000+1)$$ On utilise l’identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$$\begin {aligned}(1000-1)(1000+1)&=1000^2-1^2 \\ (1000-1)(1000+1)&= 1\ 000\ 000 -1\\ (1000-1)(1000+1)&=999\ 999\\ 999 \times 1001 &=999\ 999 \end{aligned}$$
- Calculons $53^2-47^2$
On utilise l’identité remarquable $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
$$\begin{aligned}53^2-47^2&=(53+47)(53-47) \\ 53^2-47^2&=100 \times 6 \\ 53^2-47^2&=600\end{aligned}$$
Utiliser les identités remarquables pour factoriser
Utiliser les identités remarquables pour factoriser
Exemple
- Factorisons $4x^2+12x+9$
Cette expression est de la forme $a^2+2ab+b^2$ avec $a=2x$ et $b=3$ $$4x^2+12x+9=(2x)^2+ 2 \times 2x \times 3+ 3^2$$ On utilise l’identité remarquable $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
$$\begin{aligned}(2x)^2+ 2\times 2x\times 3 +3^2&=(2x+3)^2\\ 4x^2+12x+9&=(2x+3)^2\end{aligned}$$
- Factorisons $x^2-8x+16$
Cette expression est de la forme $a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=4$ $$x^2-8x+16=x^2-2 \times x \times 4+4^2$$ On utilise l’identité remarquable $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
$$\begin{aligned}x^2-2\times x \times 4 + 4^2&=(x-4)^2\\ x^2-8x+16&=(x-4)^2\end{aligned}$$
- Factorisons $100- 9x^2$
Cette expression est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=10$ et $b=3x$ $$100-9x^2=10^2-(3x)^2$$ On utilise l’identité remarquable $a^2-b^2= (a+b)(a-b)$
$$\begin{aligned}10^2-(3x)^2&= (10+3x)(10-3x)\\ 100-9x^2&=(10+3x)(10-3x)\end{aligned}$$