Somme algébrique
Introduction :
L’objectif de ce cours est d’apprendre à calculer une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs, autrement appelée somme algébrique.
Nous commencerons par définir précisément cette notion de somme algébrique. Nous ferons ensuite un rappel de la méthodologie de calcul d’une somme algébrique. Enfin, nous apprendrons deux méthodes de simplification d’écriture : une par convention, l’autre par la règle des signes.
Somme algébrique
Somme algébrique
Définition
Somme algébrique :
Une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs.
Rappel
L’ensemble des nombres relatifs est formé des nombres décimaux positifs (supérieurs à $0$) et négatifs (inférieurs à $0$).
À retenir
On l’appelle somme algébrique car toute soustraction d’un nombre relatif peut être remplacée par l’addition de son opposé : $$\begin{aligned}5-2&=5-(+2)\\&=5+(-2)\end{aligned}$$
Exemple
$S = 5 + 8,2 + (-7) + 6 + (-9,3)$ est une somme algébrique.
$E = (-7,2) + (+12) - (+13,4) - (-7) - (+4,5)$ est aussi une somme algébrique.
Calcul d’une somme algébrique
Calcul d’une somme algébrique
Il s’agit ici de calculer simplement une somme algébrique en regroupant les termes positifs d’un côté et les termes négatifs de l’autre.
Attention
Pour pouvoir déplacer des termes dans une somme algébrique, celle-ci ne doit contenir que des additions. La première étape sera donc de transformer les soustractions, s’il y en a, en additions.
MÉTHODOLOGIE
Pour calculer une somme algébrique :
- on transforme les soustractions en additions en remplaçant les nombres relatifs soustraits par leurs opposés ;
- on regroupe les termes positifs d’un côté et les termes négatifs de l’autre ;
- on calcule les deux sommes séparément ;
- on termine le calcul.
Exemple
Calculons la somme algébrique $E = (-7,2) + (+12) - (+13,4) - (-7) - (+4,5)$
- On transforme les soustractions en additions :
- on repère tout d’abord les soustractions :
$$E = (-7,2) + (+12) \red{-} (+13,4) \red{-} (-7) \red{-} (+4,5)$$
- on inverse le signe des nombres soustraits et on transforme en additions :
$$E = (-7,2) + (+12) \green{+} (\blue{-}13,4) \green{+} (\blue{+}7) \green{+} (\blue{-}4,5)$$
- On regroupe les termes de même signe d'un côté et de l'autre :
$$E =\underbrace{(-7,2) + (-13,4) + (-4,5)}_\text{termes négatifs} +\underbrace{(+12) + (+7)}_\text{termes positifs}$$
- On calcule les deux sommes séparément :
$$E =\underbrace{(-7,2) + (-13,4) + (-4,5)}_\text{termes négatifs} +\underbrace{(+12) + (+7)}_\text{termes positifs}$$ $$E =\underbrace{(-25,1)}_\text{somme des termes négatifs} +\underbrace{(+19)}_\text{somme des termes positifs}$$
- On termine le calcul :
$$E = -6,1$$
Astuce
Pensez à vérifier s'il y a des nombres opposés dans la somme algébriques. Si c'est le cas, ils s'annulent car leur somme est égale à zéro.
Par exemple, calculons la somme $F=(-8)+(-7)+5+7$.
- On cherche s'il y a des nombres opposés dans la somme $F$. $$F=(-8)+(\red{-7})+5+\red{7}$$
- $-7$ et $7$ sont des opposés. Ils s'annulent donc entre eux car leur somme est égale à zéro ($-7+7=0$). $$F=(-8)+\xcancel{(\red{-7})}+5+\xcancel{\red{7}}$$
- On supprime les opposés et on effectue le calcul normalement. $$\begin{aligned}F&=(-8) +5\\ F&=-3\end{aligned}$$
Ce genre de calcul est long et peut donc vous amener à faire des erreurs à cause des nombreuses parenthèses et de tous les signes présents (ceux des additions/soustractions et ceux des nombres eux-mêmes). C’est pourquoi on cherchera à simplifier l’écriture d’une somme algébrique au maximum avant de la calculer.
Écriture simplifiée d’une somme algébrique
Écriture simplifiée d’une somme algébrique
Nous allons voir ici comment il est possible de simplifier l’écriture d’une somme algébrique. On peut notamment supprimer les parenthèses autour des nombres relatifs ainsi que certains signes.
Convention d’écriture
Convention d’écriture
À retenir
Par convention, dans une somme de plusieurs nombres relatifs, on peut supprimer :
- les signes $+$ de l’addition et les parenthèses des nombres relatifs ;
- le signe $+$ du nombre en début de calcul s’il en a un.
Les nombres relatifs sont alors mis côte à côte et sont simplement séparés par leurs signes.
Attention
La convention s’appliquant à une somme de nombres relatifs, la première étape sera toujours de transformer les soustractions en additions, s’il y en a.
MÉTHODOLOGIE
- On transforme tout d’abord les soustractions en additions des nombres opposés.
- On simplifie la somme algébrique selon la convention énoncée ci-dessus.
- On effectue le calcul de gauche à droite (en regroupant éventuellement certains termes) ou bien on regroupe les termes de même signe puis on termine le calcul.
Exemple
Simplifier puis calculer la somme algébrique $A = (+7) - (+12,3) - (-9) + (-4,1) - (+8,5) + (-2)$
- On repère les soustractions et on les transforme en additions des nombres opposés :
$$A = (+7) \red{-} (+12,3) \red{-} (-9) + (-4,1) \red{-} (+8,5) + (-2)$$ $$A = (+7) \green{+} (\blue{-}12,3) \green{+} (\blue{+}9) + (-4,1) \green{+} (\blue{-}8,5) + (-2)$$
- On supprime les signes $+$ des additions, les parenthèses et le signe $+$ en début de calcul :
$$\begin{aligned}A&= \red{(+}7\red{) + (}-12,3\red{) + (}+9\red{) + (}-4,1\red{) + (}-8,5\red{) + (}-2\red{)}\\A&=7-12,3+9-4,1-8,5-2\end{aligned}$$
- On effectue le calcul :
- de gauche à droite. Ici, on regroupera les trois derniers termes car tout trois sont négatifs :
- ou bien en regroupant les termes positifs et les termes négatifs d'un côté et de l’autre :
$$\begin{aligned}A&=\blue{7}\purple{-12,3}\blue{+9}\purple{-4,1-8,5-2}\\ A&=\blue{7+9}\purple{-12,3-4,1-8,5-2}\\ A&=\blue{16} \purple{-26,9}\\ A&=-10,9\end{aligned}$$
Ces exemples nous permettent d’aborder la règle des signes que nous allons voir maintenant.
Règle des signes
Règle des signes
Si on analyse l’exemple ci-dessus, on constate que :
- $\green {+ (+…)}$ devient $\green{+ …}$ : l’ajout d’un gain est un gain.
- $\pink{+ (-…)}$ devient $\pink{- …}$ : l’ajout d’une perte est une perte.
- $\orange{- (+…)}$ devient $\orange{- …}$ : le retrait d’un gain est une perte.
- $\purple{-(-…)}$ devient $\purple{+ …}$ : le retrait d’une perte est un gain.
À retenir
On peut établir la règle des signes suivante :
- deux « $\green +$ » qui se suivent deviennent un « $\green +$ » ;
- un « $\pink +$ » suivi d’un « $\pink -$ » devient un « $\pink -$ » ;
- un « $\orange -$ » suivi d’un « $\orange +$ » devient un « $\orange -$ » ;
- deux « $\purple -$ » qui se suivent deviennent un « $\purple +$ ».
Cette règle permet elle aussi la simplification de l’écriture d’une somme algébrique, au même titre que la convention d’écriture. On n’oubliera pas de supprimer les parenthèses du nombre en début de calcul et son signe « $+$ » si tel est le cas.
Exemple
Simplifier puis calculer $F = (-12) + (-25) - (-3 ) - (+7 ) + (+8)$
- On applique la règle des signes ci-dessus :
$$\begin{aligned}F&= (-12) \pink{+} (\pink{-}25) \purple{-} (\purple{-}3 ) \orange{-} (\orange{+}7 ) \green{+} (\green{+}8)\\ F&= -12 \pink{-} 25 \purple{+} 3 \orange{-} 7 \green{+} 8\end{aligned}$$
- On effectue le calcul :
- de gauche à droite (en regroupant ici les deux derniers termes car leur somme est égale à $1$) :
$$\begin{aligned}F&=-12-25 + 3 \red{- 7 + 8}\\ F&=-37+3\red{+1}\\ F&=-34\red{+1}\\ F&=-33\end{aligned}$$
- ou en regroupant les termes positifs et les termes négatifs d’un côté et de l’autre :
$$\begin{aligned}F&= \purple{-12 - 25}\blue{ + 3}\purple{ - 7}\blue{ + 8}\\ F&=\purple{-12-25-7}\blue{+3+8}\\ F&= \purple{-44}\blue{+ 11}\\ F&=-33\end{aligned}$$
Conclusion :
La technique de calcul d’une somme algébrique doit être parfaitement connue car elle permet de bien comprendre la notion de signe d’un nombre relatif et de bien la différencier de celle des signes de l’addition et de la soustraction.
Dans la pratique, il faudra également connaître la convention d’écriture et la règle des signes qui permettent de simplifier l’écriture d’une somme algébrique afin de calculer plus facilement.