Simplification de fractions
Introduction :
L'objectif de ce cours est d'apprendre à simplifier des fractions, outil bien pratique pour en alléger ou en simplifier l'écriture.
Pour cela, nous commencerons par rappeler la notion de fraction et faire apparaitre, à travers de nombreux exemples, la notion d'égalité de fractions que nous introduirons ensuite. Nous poursuivrons alors par la définition et la méthodologie de simplifications de fractions.
Notion de fraction
Notion de fraction
Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers. Elle peut exprimer différentes notions.
Exprimer une proportion
Exprimer une proportion
Une fraction peut exprimer une proportion, un partage dont le nombre de parts est donné par le numérateur et le nom de la part (sa taille) est donné par le dénominateur.
Exemple
La fraction $\frac\blue{2}\red{5}$ exprime $\blue{2}$ parts d'une unité qui est partagée en $\red{5}$ parts égales soit « deux cinquièmes » de cette unité.
Une fraction peut être représentée sur la surface d'un disque (ou d'un rectangle).
Exemple
La surface coloriée représente $\dfrac {\color{#57BAB5}{3}}{\color {#F096BF} {4}}$ de la surface du disque.
La surface coloriée représente $\dfrac {\color{#57BAB5}{6}}{\color {#F096BF} {8}}$ de la surface du disque.
- On constate ici que deux fractions qui n'ont pas la même écriture peuvent représenter la même surface d’un disque.
Une fraction peut être représentée sur une droite graduée.
MÉTHODE
Soient deux entiers $a$ et $b$, avec $b$ non nul.
Pour placer une fraction $\frac ab$ sur une droite graduée, on partage l'unité en $b$ parts égales et on reporte $a$ fois une part à partir de $0$.
Exemple
- Placer les points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $\frac 25$ et $\frac 85$.
L'unité a été partagée en $5$ parts égales.
À partir de $0$, on a reporté $2$ fois une part pour placer $A=\frac 25$ et $8$ fois une part pour placer $B=\frac 85$.
- Placer les points $C$ et $D$ d'abscisses respectives $\frac{16}{10}$ et $\frac{23}{10}$.
L'unité a été partagée en $10$ parts égales.
À partir de $0$, on a reporté $16$ fois une part pour placer $C=\frac{16}{10}$ et $23$ fois une part pour placer $D=\frac{23}{10}$.
- On constate également ici que deux fractions qui n'ont pas la même écriture peuvent avoir la même position sur une droite graduée.
Astuce
La représentation sur une droite graduée est plus pratique pour représenter une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur (fraction plus grande que l'unité).
Elle permet également de comparer facilement des fractions dont la valeur est relativement proche.
Exprimer un quotient
Exprimer un quotient
Une fraction peut exprimer un quotient (résultat d'une division).
Définition
Quotient :
Soient deux nombres $a$ et $b$, avec $b$ non nul.
Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. Son écriture fractionnaire est $\frac ab$.
À retenir
Par définition on a $\frac ab \times b = a$.
On a aussi $a \div b = \frac ab$.
Si $a$ et $b$ sont entiers, alors le quotient $\frac ab$ est bien une fraction.
APPLICATIONS
- Valeur d'une fraction
Exemple
La fraction $\frac 74$ est le quotient de $7$ par $4$.
Ici, le plus simple est de poser la division : $\frac 74 = 7 \div 4 = 1,75$
La fraction $\frac {21}{12}$ est le quotient de $21$ par $12$.
Posons également la division : $\frac{21}{12} = 21 \div 12 = 1,75$
- Nous constatons ici aussi que deux fractions qui n'ont pas la même écriture peuvent avoir la même valeur.
La fraction $\frac 53$ est le quotient de $5$ par $3$.
On a $\frac 53 = 5 \div 3 = 1,666666…$
- On remarque que cette fraction n'admet pas d'écriture décimale.
- Expression d'un nombre entier ou d'un nombre décimal
Un nombre entier peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le numérateur est ce nombre entier lui-même et le dénominateur est $1$.
Un nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.
Exemple
$3 = \frac 31$
$0,7 = \frac {7}{10}$
$58,207 = \frac{58207}{1000}$
À retenir
Tout nombre entier ou décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction, mais toute fraction n'admet pas une écriture décimale.
Ces rappels étant faits, nous pouvons maintenant passer à la simplification de fractions.
Simplification de fractions
Simplification de fractions
Nous avons vu que des fractions qui n'ont pas la même écriture peuvent avoir la même valeur ; on parle de fractions égales.
À retenir
Simplifier une fraction, c’est justement trouver une fraction égale mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits que ceux de la fraction initiale pour « simplifier » l'écriture de la fraction.
Ainsi, pour pouvoir simplifier une fraction, il faut d’abord bien connaître la notion de quotients égaux.
Quotients égaux
Quotients égaux
Propriété
Deux quotients sont égaux quand leurs numérateurs et dénominateurs sont proportionnels.
Autrement dit, la valeur d'un quotient ne change pas quand on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
Ainsi, pour tous nombres $a$, $b$ et $k$, avec $b$ et $k$ non nuls : $\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k}$ et $\frac ab = \frac{a \div k}{b \div k}$.
Exemple
$\dfrac{44}{24}=\dfrac{44 \div 4}{24 \div 4}=\dfrac{11}{6}$
$\dfrac 12=\dfrac{1 \times 5}{2 \times 5}=\dfrac{5}{10}$
Simplifier une fraction
Simplifier une fraction
Définition
Simplification de fraction :
Simplifier une fraction, c'est lui trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Ainsi, la simplification de fractions est une application directe de la propriété des quotients égaux, restreinte ici aux fractions.
MÉTHODOLOGIE
Soient deux entiers $a$ et $b$, avec $b$ non nul.
Pour simplifier la fraction $\frac ab$, il s'agira de trouver, si possible, un entier $k$ différent de $0$ et de $1$ tel que $a$ et $b$ appartiennent tous deux à la table de $k$.
- Une fraction simplifiée de $\frac ab$ sera alors $\frac{a\div k}{b\div k}$.
On dira alors qu'on a « simplifié la fraction par $k$ ».
On pourra parfois aussi entendre que « $a$ et $b$ sont divisibles par $k$ », ce qui revient à dire que « $a$ et $b$ appartiennent à la table de $k$ ».
Exemple
- Simplifier la fraction $\frac{18}{15}$.
$18$ et $15$ appartiennent à la table de $3$. On peut écrire $\frac{18}{15} = \frac{18 \div 3}{15 \div 3}=\frac 65$ donc $\frac {18}{15} = \frac 65$.
- On a simplifié la fraction par $3$.
- Simplifier le plus possible $\frac{60}{90}$.
$60$ et $90$ appartiennent à la table de $10$. On peut écrire $\frac{60}{90} = \frac{60\div 10}{90\div 10}=\frac 69$ donc $\frac{60}{90} = \frac 69$.
$6$ et $9$ appartiennent à la table de $3$. On peut écrire $\frac 69 = \frac{6\div 3}{9\div 3}=\frac 23$ donc $\frac 69 = \frac 23$.
$2$ et $3$ n'appartiennent à aucune table commune différente de celle de $1$. On ne peut donc pas simplifier la fraction $\frac 23$.
- La forme la plus simplifiée de $\frac{60}{90}$ est donc $\frac 23$ : on a $\frac{60}{90} = \frac 23$.
Astuce
La forme la plus simplifiée d'une fraction est dite « irréductible », mais cette notion ne sera réellement abordée qu’en classe de 3e.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons appris à simplifier l'écriture d'une fraction. Pour ce faire, nous avons introduit la notion de quotients égaux qui est indispensable à la compréhension de cette méthode. Nous avons également revu la notion de fraction dont les différents sens, expressions et représentations doivent être parfaitement intégrés maintenant.