Sections planes
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Introduction :
Il s’agit ici d'étudier les sections (intersections) de solides par un plan, dans le but notamment de calculer des longueurs, des aires et des volumes dans l'espace.
Nous travaillerons d'abord sur la section d’un pavé droit par un plan, en donnerons les propriétés que nous illustrerons par une application concrète. De la même manière, nous étudierons ensuite la section d'un cylindre, puis celle d'une pyramide ou d’un cône, et enfin la section d'une sphère.
Section d’un pavé droit par un plan
Section d’un pavé droit par un plan
Propriété
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à l'une de ses faces est un rectangle identique à cette face.
$A'B'F'E'$ est un rectangle dont les dimensions sont identiques à celles du rectangle $ABFE$.
$E'F'G'H'$ est un rectangle dont les dimensions sont identiques à celles du rectangle $EFGH$.
Propriété
La section d'un pavé droit par un plan parallèle à l’une de ses arêtes est un rectangle.
La section de $ABCDEFGH$ par $\mathcal{P}$ parallèle à $[AE]$ est le rectangle $MNPQ$.
Exemple
Le pavé droit ci-dessous a été coupé par un plan parallèle à l'arête $[BC]$.
On se propose de calculer le volume du prisme droit $MBFENCGH$.
Avant toute chose, on remarque que le volume du prisme recherché est égal au volume total du pavé droit moins celui du solide $AMEDNH$.
- Le volume du pavé droit $ABCDEFGH$ est $V_{ABCDEFGH}=12 \times 6 \times 8=576\ \text{cm}^3$
- La section du pavé droit par un plan parallèle à $[BC]$ est un rectangle d’où $MN = EH = 6\ \text{cm}$.
- $AMEDNH$ est donc un prisme de base triangulaire $AME$ et de hauteur $6\ \text{cm}$
- Son volume est : $V_{AMEDNH}=S_{AME} \times 6$
- Or la base $AME$ est un triangle rectangle en $A$ d’où $S_{AME}=\dfrac{(8\times 9)}{2} =36\ \text{cm}^2$
- Donc $V_{AMEDNH}=36 \times 6=216\ \text{cm}^3$
- Le volume du prisme recherché est donc $V_{MBFENCGH}=576-216=360\ \text{cm}^3$
Section d'un cylindre par un plan
Section d'un cylindre par un plan
Propriété
La section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque identique à celui de sa base.
Le disque $\mathcal{C'}$ est identique au disque $\mathcal{C}$.
Propriété
La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle.
La section du cylindre par $\mathcal{P}$ parallèle à $(OI)$ est le rectangle $ABCD$.
Propriété
Cas particulier :
Si le plan passe par l'axe du cylindre, la section est un rectangle dont la largeur est égale au diamètre du cylindre.
Exemple
Le solide ci-dessus est une pièce en bois fabriquée en série de $1000$ pièces. Initialement, c’est un cylindre plein que l’on découpe parallèlement à son axe.
La face sectionnée est destinée à être collée. Pour connaître la quantité de colle nécessaire à la totalité de la série, on nous demande de calculer la surface à encoller d’une unité en $\text{cm}^2$, puis de la série en $\text{m}^2$.
Cette pièce est un cylindre coupé parallèlement à son axe.
La section $ABCD$ est donc un rectangle dont on connait déjà la hauteur : $AB = DC = 4\ \text{cm}$
Pour calculer sa largeur, il suffit de constater que $BIO$ et $CIO$ sont deux triangles rectangles dont on peut calculer les longueurs $BI$ et $CI$ à l’aide du théorème de Pythagore :
$BI^2+IO^2=OB^2$ et $CI^2+IO^2=OC^2$ avec $OB=OC=R= 1\ \text{cm}$ et $OI=0,8\ \text{cm}$
D’où $BI^2=CI^2=1^2-0,8^2=0,36$ donc $BI=CI=\sqrt {0,36}=0,6\ \text{cm}$
La largeur du rectangle de coupe est $BC = BI + IC = 2 \times 0,6 = 1,2\ \text{cm}$
- La surface du rectangle à encoller est $S_{ABCD}= AB \times BC=4 \times 1,2=4,8\ \text{cm}^2$
- Pour une série de $1000$ pièces, la surface totale à encoller sera de $4800\ \text{cm}^2$ soit $S_{1000}=0,48\ \text{m}^2$
Section d'une pyramide ou d'un cône par un plan
Section d'une pyramide ou d'un cône par un plan
Propriété
Le polygone $A'B'C'D'E'$ est une réduction du polygone $ABCDE$.
Propriété
La section d’un cône par un plan parallèle à sa base est un disque dont le centre appartient à la hauteur du cône.
La section du cône par un plan parallèle au disque $\mathcal{C}$ est le disque $\mathcal{C'}$ de centre $\mathcal{O'}$, réduction du disque $\mathcal{C}$.
Exemple
La pyramide ci-dessus est une pyramide régulière de hauteur $6\ \text{cm}$ dont la base est un carré de $4\ \text{cm}$ de côté. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base $ABCD$ à une hauteur de $3\ \text{cm}$.
On se propose de calculer la surface de la section ainsi que le volume restant.
On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base donc la section $A'B'C'D'$ est un polygone qui est une réduction du polygone de base $ABCD$.
On sait aussi que la pyramide $SA'B'C'D'$ est une réduction de la pyramide $SABCD$, réduction dont le rapport est :
- $k=\dfrac{SO'}{SO}$ or $SO'=SO-O'O=6-3=3$ d'où $k=\dfrac36=\dfrac12=0,5$
Dans une réduction de rapport $k$ les surfaces sont multipliées par $k^2$.
- $S_{A'B'C'D'}=S_{ABCD} \times k^2$ avec $S_{ABCD} =4\times 4=16\ \text{cm}^2$ d'où $S_{A'B'C'D'}=16\times 0,5^2=4\ \text{cm}^2$
Le volume restant est $V_{restant}=V_{SABCD}-V_{SA'B'C'D'}$ avec :
- Volume de la pyramide réduite : $V_{SA'B'C'D'}=\dfrac{1}{3} \times S_{A'B'C'D'} \times SO'=\dfrac{1}{3} \times 4\times 3=4\ \text{cm}^3$
Et, sachant que dans une réduction de rapport $k$ les volumes sont multipliés par $k^3$ :
- Volume de la pyramide initiale : $V_{SABCD}=\dfrac{V_{SA'B'C'D}}{k^3}=\dfrac{4}{0,5\ \text{cm}^3}=32\text{ cm}^3$
- Le volume restant est $V_{restant}=32-4=28\ \text{cm}^3$
Section d'une sphère par un plan
Section d'une sphère par un plan
Propriété
Soit une sphère de centre $O$ et de rayon $R$.
Soient un plan $P$ qui « coupe » la sphère et $OH$ sa distance au centre de la sphère.
La section de la sphère par le plan est un cercle de centre $H$ et de rayon $r$ tel que $r^2+OH^2=R^2$
Astuce
En effet, quel que soit le point $M$ de ce cercle, le triangle $OHM$ est rectangle en $H$. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore.
Propriété
Cas particulier :
Si $OH = 0$, la section de la sphère par le plan est un cercle de centre $O$ et de rayon $R$. Cette section est appelée grand cercle.
En effet, le point $H$ est confondu avec le point $O$. Le plan passe par le centre de la sphère et $r=R$.
Propriété
Cas particulier :
Si $OH = R$, alors le plan et la sphère ont un seul point commun. On dit que le plan est tangent à la sphère.
En effet, $OH = R$ d'où $r=0$. Le cercle de section est réduit à un point : son centre $H$.
Exemple
La position d’un point sur Terre est donnée par sa latitude et sa longitude.
On recherche le rayon de la section de la Terre au niveau du parallèle passant par les points de latitude $60\ \degree N$ sachant que le rayon de la Terre à l’équateur est $R\approx 6374\ \text{km}$.
Notre problème peut être représenté ainsi, avec $\alpha=60\degree$, $R = 6378\ \text{km}$ et $r$ à déterminer.
La section d’une sphère par un plan (ici parallèle à l'équateur) est bien un cercle et nous recherchons son rayon. Nous sommes en présence d'une situation de Pythagore et nous pouvons écrire :
$r^2+OH^2=R^2$ soit $r^2=R^2-OH^2$
$OH$ peut être déterminé par la définition du sinus d’un angle, ici $\sin \alpha=\dfrac{OH}{R}$
d'ou
$\begin{aligned} OH&=R \times\sin \alpha\\ &=6378 \times \sin 60\degree \\ &\approx 5523,51\ \text{km}\end{aligned}$
Donc $r^2=6378^2-5523,51^2=10169721,28$ d'où $r = \sqrt{10169721,28} \approx 3189\ \text{km}$
- Le rayon du parallèle $60\degree N$ par rapport à l'axe $NS$ de la Terre est d’environ $3189\ \text{km}$.
Conclusion :
Il est important de retenir quelques propriétés des sections de solides par un plan qui peuvent néanmoins se retrouver intuitivement, à force d’entraînement de visualisation de volumes dans l'espace. En parallèle avec le cours sur les effets d’un agrandissement-réduction, l’objectif sera le plus souvent de calculer des longueurs et/ou aires et/ou volumes ; c’est la raison pour laquelle il faut également connaître les différents calculs de grandeurs des figures planes et des solides.