Cours : Résoudre des problèmes de proportionnalité

Reconnaître les situations de proportionnalité

Situation de proportionnalité

Définition

Situation de proportionnalité :

C’est une situation où les deux grandeurs sont proportionnelles.

Exemple

Un commerçant vend des pommes à la pesée à $2$ € le kilogramme.
Dans un tableau appelé tableau de proportionnalité, nous consignons les prix payés en fonction des quantités achetées.

$2$ est le coefficient de proportionnalité (par lequel nous multiplions les quantités pour obtenir les prix).
Le prix payé est proportionnel à la quantité de pommes achetées.

Définition

Coefficient de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant (ou en divisant) les valeurs de l’autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

Situation de non-proportionnalité

Définition

Situation de non-proportionnalité :

C’est une situation où les deux grandeurs ne sont pas proportionnelles, c’est-à-dire si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant ou en divisant les valeurs de l’autre par différents opérateurs.

Exemple

Le tableau indique la taille de Tom relevée sur son carnet de santé, à $5\ \text{ans}$ et à $10\ \text{ans}$.

Nous constatons que $5 \times 2=10$ mais que $105 \times 2 \neq 145$.
La taille de Tom n’est pas doublée lorsque son âge est doublé.
Par conséquent, la taille de Tom n’est pas proportionnelle à son âge.

Compléter un tableau de proportionnalité à partir de différentes méthodes

Exemple

Une hirondelle se déplace de $21$ mètres en $6$ secondes à une allure régulière.

• Quelle est la distance parcourue par l’hirondelle en $5$ secondes ?
• Méthode : calcul du coefficient de proportionnalité.

Comme $21÷6=3,5$
$3,5$ est le coefficient de proportionnalité.
Alors $5 \times 3,5=17,5$

• Conclusion : l’hirondelle parcourt $17,5\ \text{m}$ en $5\ \text{s}$
• Quelle est la distance parcourue par l’hirondelle en $18$ secondes ?
• Méthode : multiplication d’une quantité par un nombre.

Comme son allure est régulière, l’hirondelle parcourt en trois fois plus de temps une distance trois fois plus grande.
Comme $6 \times 3 =18$ alors $21 \times 3=63$

• Conclusion : l’hirondelle parcourt $63\ \text{m}$ en $18\ \text{s}$
• Quelle est la distance parcourue par l’hirondelle en $4$ secondes ?
• Méthode : calcul d’une quatrième proportionnelle en faisant un produit en croix.

$(21\times4)÷6=84÷6=14$

• Conclusion : l’hirondelle parcourt $14\ \text{m}$ en $4\ \text{s}$
• Quelle est la distance parcourue par l’hirondelle en $10$ secondes ?
• Méthode : additivité

Comme $6+4=10$ alors $21+14=35$

• Conclusion : l’hirondelle parcourt $35\ \text{m}$ en $10\ \text{s}$

Représentation graphique

Propriété

Propriété

Si une situation est une situation de proportionnalité, alors les points représentés graphiquement dans un repère sont alignés entre eux et avec l’origine de ce repère.

Exemple graphique de situation de proportionnalité

Si la longueur d’un côté d’un carré est $C$, alors le périmètre $P$ de ce carré se calcule $P=4\times C$.

Le périmètre d’un carré est proportionnel à la longueur d’un de ses côtés. Donc les points de la représentation graphique du périmètre du carré en fonction de la longueur d’un de ses côtés sont alignés entre eux et avec l’origine du repère.

Réciproque de la propriété

Si les points d’une représentation graphique sont alignés entre eux et avec l’origine d’un repère, alors ces points représentent une situation de proportionnalité.

• Les points de la représentation graphique $A$ ne sont pas alignés, donc ce n’est pas une situation de proportionnalité.
• Les points de la représentation graphique $B$ sont alignés entre eux et avec l’origine du repère, c’est donc une situation de proportionnalité.
• Les points de la représentation graphique $C$ ne sont pas alignés avec l’origine du repère donc ce n’est pas une situation de proportionnalité.

Exemple graphique de situation de non-proportionnalité

Un théâtre pour enfants propose le tarif suivant :

En achetant la carte à $20$ €, Hugo a droit à un tarif de $4$ € par spectacle.

Le tableau donne le prix payé par Hugo pour assister aux spectacles.

Si Hugo choisit de ne voir qu’un spectacle dans l’année il paiera $24$ € car $20 +4 =24$
S’il choisit de voir $4$ spectacles dans l’année, il paiera $36$ € car $20+ (4\times 4)=20+16=36$
S’il choisit de voir $9$ spectacles dans l’année, Hugo paie $56$ € car $20+(9\times 4)=20+36=56$

Les points de la représentation graphique sont pas alignés avec l’origine du repère, donc la dépense d’Hugo n’est pas proportionnelle au nombre de spectacles.