Cours : Représentation d'un solide en perspective cavalière et en 3D à l'aide d'un patron

Rappels

Définition

Solide :

Un solide est une portion d’espace limitée par une surface fermée indéformable.

À retenir

• Les solides sont des formes géométriques de dimension 3 : ils ont une épaisseur, un relief… Ainsi, on pourra chercher à mesurer :
• des longueurs,
• des aires,
• et des volumes.
• En comparaison, les lignes sont des formes géométriques de dimension 1 (on ne peut parler que de longueurs) et les surfaces sont des formes géométriques de dimension 2 (on peut parler de longueurs et d’aires).

Définition

Face :

Une face est une surface plane d’un solide.

Astuce

Beaucoup de solides n’ont pas de surfaces planes, comme la sphère par exemple.

Définition

Arête :

Une arête est un segment commun à deux faces d’un solide.

Définition

Arête fuyante :

Une arête fuyante est une arête qui relie la face avant à la face arrière d’un solide.

Définition

Sommet :

Un sommet est une extrémité d’une arête d’un solide.

Représentation en 2D : la perspective cavalière

Un solide ne peut pas tenir entièrement sur une feuille. La façon de le représenter « à plat » de telle sorte qu’on reconnaisse que c’est un solide et de quel solide il s’agit s’appelle la perspective cavalière.

Définition

Perspective cavalière :

La perspective cavalière est le procédé de dessin utilisé en mathématiques pour représenter dans le plan (une feuille) un objet de l’espace (un solide).

En perspective cavalière :

• les faces avant et arrière du solide peuvent être représentées en vraie grandeur ;
• les autres faces (dessus, dessous, latérales…) sont déformées selon les règles suivantes :
• les arêtes fuyantes sont représentées plus petites que dans la réalité (entre $\frac 12$ et $\frac 23$ de la réalité) en suivant un angle d’environ $30\degree$ à $40\degree$ par rapport à l’horizontale ;
• les arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin ;
• celles parallèles et de même longueur restent de même longueur ;
• les milieux restent au milieu ;
• les points alignés restent alignés ;
• les arêtes cachées sont représentées en pointillés.

Exemple

Pour représenter un pavé droit :

• tracer un rectangle en vraie grandeur (ce sera la face avant) ;
• depuis les 4 sommets du rectangle, tracer 4 segments parallèles et de même longueur (les 4 arêtes fuyantes) en veillant à tracer l’arête cachée en pointillés ;
• relier les 4 extrémités des segments en veillant à tracer les 2 arêtes cachées en pointillés.
• vérifier que l’on obtient bien un rectangle (la face arrière) identique au premier.

Représentation en 3D : l’utilisation d’un patron

Définition

Patron d’un solide :

Un patron d’un solide est une figure plane qui permet, après pliage, de fabriquer exactement, sans superposition, ce solide.

Exemple

Reprenons le pavé droit de l’exemple précédent.

Imaginons que nous faisons « tomber » ce solide sur la feuille sur laquelle il est posé de la façon suivante :

• la face avant vers l’avant,
• la face arrière vers l’arrière,
• la face latérale droite à droite,
• la face latérale gauche à gauche,
• la face du dessus reste « accrochée » à la face latérale droite et tombe avec elle, dans son prolongement.

Voici le patron à découper que nous obtenons en vraie grandeur :

Pour visualiser le pliage à effectuer, revenons à une vue en perspective de notre patron :

Commençons maintenant notre pliage :

Collons les arêtes :

Nous obtenons finalement notre pavé droit en 3D :

Attention

À noter qu’il existe plusieurs patrons possibles pour un même solide. Nous aurions pu décider de laisser la face du dessus « accrochée » à la face arrière. Nous aurions alors obtenu le patron suivant :