Cours : Reconnaître un multiple et un diviseur

Diviseur et multiple

Diviseur

Définition

Diviseur :

On dit qu’un nombre $b$ est un diviseur d’un nombre $a$ si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul.
Concrètement, dire que $b$ est un diviseur de $a$ signifie qu’il existe un entier $n$ tel que :
$$a = b \times n$$

Exemple

$4$ est un diviseur de $8$ car $8 = 4 \times 2$

Contre-exemple

$4$ n’est pas un diviseur de $10$ car il n’existe pas d’entier $n$ tel que $10 = 4 \times n$

En effet, si on effectue la division euclidienne de $10$ par $4$, on obtient :

• $2 \times 4 = 8$ et $3 \times 4 = 12$
• $3$ ne permet pas de résoudre l’équation car $12 > 10$.
• On inscrit le $2$ sous le $4$ puis on effectue la multiplication $2 \times 4 = 8$ et on inscrit le résultat sous le $10$.
• On effectue la soustraction $10 - 8 = 2$
• On constate que dans $2$ on ne peut pas mettre $4$ car $2 < 4$.
• Le résultat de la division euclidienne de $10$ par $4$ est donc $2$ et il reste $2$ :
  $10=4 \times 2 +2$
• $4$ n’est donc pas un diviseur de $10$ car il y a un reste.

Multiple

Définition

Multiple :

On dit qu’un nombre $a$ est un multiple d’un nombre $b$ si $a$ est le résultat de la multiplication de $b$ par un entier.
Concrètement, dire que $a$ est un multiple de $b$ signifie qu’il existe un entier $n$ tel que : $a = b \times n$

Exemple

$20$ est un multiple de $4$ car $4 \times 5 = 20$

Contre-exemple

$20$ n’est pas un multiple de $3$ car il n’existe pas d’entier $n$ tel que $20 = 3 \times n$

En effet, on a $3 \times 6 = 18 < 20$ et $3 \times 7 = 21 > 20$

Quelques applications

On peut écrire que $63 = 9 \times 7$ ou que $63 \div 9 = 7$, ou encore que $63 \div 7 = 9$

Ces égalités peuvent se traduire de différentes façons :

• $9$ est un diviseur de $63$ ;
• $7$ est un diviseur de $63$ ;
• $63$ est un multiple de $7$ ;
• $63$ est un multiple de $9$.

Ainsi, un même nombre peut être le multiple de plusieurs nombres et peut avoir plusieurs diviseurs.

Exemple

$4$ est-il un diviseur de $12$ ?

Pour vérifier, on applique la division euclidienne.

• Dans $12$, combien de fois trouve-t-on $4$ ? $3$ fois puisque $3 \times 4 = 12$
• On inscrit le $3$ sous le $4$. On effectue la multiplication $3 \times 4 = 12$ et on inscrit le résultat sous le $12$.
• On effectue la soustraction $12 - 12 = 0$
• Le résultat de la division euclidienne de $12$ par $4$ est $3$ et il reste $0$ :
  $12 = 4 \times 3 + 0$
• $4$ est donc bien un diviseur de $12$ puisqu’il n’y a pas de reste.
• On constate que $3$ est également un diviseur de $12$.
• $12$ est donc un multiple de $3$ et de $4$.

Exemple

$12$ est-il un multiple de $6$ ?

• On sait que $6 \times 2 = 12$
• Donc $12$ est bien un multiple de $6$. C’est également un multiple de $2$.
• $2$ et $6$ sont donc des diviseurs de $12$.
• Si on reprend les résultats de l'exemple précédent, on remarque que $12$ à quatre diviseurs : $2$, $6$, $3$ et $4$.
• $12$ est donc aussi un multiple de $2$, $6$, $3$ et $4$.