Fiche de révision : Probabilités conditionnelles et indépendance

Conditionnement

• Soit $A$ et $ B$ deux événements de l’univers $\Omega$, avec $A$ de probabilité non nulle $(p(A)\neq0)$ :
• la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est le nombre noté $p_A(B)$ défini par : $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$ ;
• $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)\ \big(\text{avec} \ p(A)\neq0\big)$ ;
• $p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)\ (\text {avec} \ p(B)\neq0)$.
• On peut représenter une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre pondéré :

• Sur les branches du 1^er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
• Sur les branches du 2^e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
• Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à $1$.
• Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.
• Un autre mode de représentation d’une telle expérience est le tableau à double entrée :

Probabilités totales et événements indépendants

• Les ensembles $A\cap D$, $B\cap D$ et $C\cap D$ forment une partition de $D$, c’est-à-dire que leur intersection est l’ensemble vide et leur réunion est l’ensemble $D$.
• On a alors : $p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D)$.
• Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont dits indépendants si et seulement si :
• $p_A(B)=p(B)$ ou $p_B(A)=p(A)$ ;
• $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
• Si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors il en est de même :
• pour les événements $\bar{A}$ et $B$ ;
• pour les événements $A$ et $\bar {B}$ ;
• pour les événements $\bar{A}$ et $\bar{B}$.