Cours : Principe fondamental de la statique

Lois de la statique

Principe fondamental de la statique (PFS)

Soit un solide $S$ soumis aux forces $\vec F_{\tiny 1}$ (avec $B_{\tiny 1}$ son point d’application), $\vec F_{\tiny 2}$ (avec $B_{\tiny 2}$ son point d’application), …, $\vec F_n$ (avec $B_{n}$ son point d’application).
Soit un point $I$ quelconque, en lequel le moment de $\vec F_{\tiny 1}$ vaut $\vec M_{\tiny I} (\vec F_{\tiny 1})$, le moment de $\vec F_{\tiny 2}$ vaut $\vec M_{\tiny I} (\vec F_{\tiny 2})$, …, le moment de $\vec F_n$ vaut $\vec M_{\tiny I} (\vec F_n)$.

Théorème

Théorème de la résultante statique :

Dans un référentiel galiléen, si $S$ est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des forces extérieures exercées sur $S$ est nulle :

$$ \displaystyle\sum_{i=1}^n \big(\vec F_i\big)_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}=\green{\vec 0}$$

• Les forces doivent être projetées dans le même repère.

Théorème

Théorème du moment statique :

Dans un référentiel galiléen, si $S$ est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des moments des forces extérieures exercées sur $S$, exprimés en un même point $I$, est nulle :

$$ \displaystyle\sum_{i=1}^n \Big(\vec M_I\big(\vec F_i\big)\Big)_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}=\blue{\vec 0}$$

• Les moments doivent être projetés dans le même repère.

Enfin, nous pouvons écrire le principe fondamental de la statique.

Théorème

Dans un référentiel galiléen, tout sytème $S$ au repos ou en mouvement rectiligne uniforme est soumis à des actions extérieures dont la somme est nulle :

$$\displaystyle\sum_{i=1}^n \begin{Bmatrix} A_{\tiny B_i} \big(\vec F_i\big) \end{Bmatrix}_{I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \green {\vec 0} \\ \blue{\vec 0} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

Exemple

Reprenons l’exemple du plongeoir du cours précédent :

(D’après un modèle de D. Vesvard)

• Nous trouvions :

$$\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A_{\tiny B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ \red{y_{\tiny F_B}} & 0 \\ 0 & 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k} \\ \\ \begin{Bmatrix} A_{\tiny G}(\text{pesanteur}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{G\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ \purple{-m_{\text{pl}}\times g} & 0 \\ 0 & 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ \\ \begin{Bmatrix} A_{\tiny I}(\text{pers}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ \purple{-m_{\text{pers}}\times g} & 0 \\ 0 & 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}$$

Si l’on considère que le plongeoir est au repos, alors, d’après le PFS, et plus particulièrement le théorème de la résultante statique :

$$\begin{aligned} \red{y_{\tiny F_B}} + (\purple{-m_{\text{pl}}\times g}) + (\purple{-m_{\text{pers}}\times g}) &= 0 \\ \Leftrightarrow \red{y_{\tiny F_B}} &= \purple{m_{\text{pl}}\times g} + \purple{m_{\text{pers}}\times g} \\ &= \red{g\times (m_{\text{pl}} + m_{\text{pers}})} \end{aligned}$$

• Ainsi, si nous connaissons la masse de la personne et celle du plongeoir, nous pouvons en déduire $y_{\tiny F_B}$ et donner un bilan des forces précis.

Principe des actions réciproques

À retenir

Si un système $\Sigma_{\tiny 1}$ exerce une action sur un autre système $\Sigma_{\tiny 2}$, alors $\Sigma_{\tiny 2}$ exerce une action opposée sur $\Sigma_{\tiny 1}$ :

$$\begin{Bmatrix} A(\Sigma_{\tiny 1}\rightarrow \Sigma_{\tiny 2})\end{Bmatrix} = - \begin{Bmatrix} A(\Sigma_{\tiny 2}\rightarrow \Sigma_{\tiny 1})\end{Bmatrix}$$

Étude de cas

Cas de $2$ forces

Étudions le cas d’une corde $\text{C}$ de masse négligeable, fixée à l’une de ses extrémités au sol $\text{S}$, et sur laquelle une personne $\text{P}$ exerce une traction. Considérons que la corde est au repos.

• En appliquant le PFS, nous obtenons :

$$\begin{aligned} \vec F_{\tiny \text{P} \rightarrow \text{C}} + \vec F_{\tiny \text{S} \rightarrow \text{C}} = \vec 0 \Leftrightarrow\vec F_{\tiny \text{P} \rightarrow \text{C}} = - \vec F_{\tiny \text{S} \rightarrow \text{C}} \end{aligned}$$

À retenir

Ainsi, quand un système est soumis uniquement à $2$ forces extérieures, celles-ci sont :

• de norme identique ;
• portées par la même direction ;
• de sens opposés.

Cas de $3$ forces

Étudions maintenant le cas d’un télescope $\text{T}$ :

• articulé en $A$ avec le sol $\text{S}$ ;
• soutenu en $B$ par un vérin $\text{V}$ (de masse négligeable) ;
• soumis à son poids en $G$.

• Le poids $\vec P$ du télescope est orienté selon l’axe vertical.

• Le vérin est soumis à $2$ forces : une en $B$ et l’autre en $C$.

Nous avons donc : $\vec F_{\tiny \text{T} \rightarrow \text{V}}$ colinéaire à $\overrightarrow{CB\ }$.
D’après le principe des actions réciproques : $\vec F_{\tiny \text{T} \rightarrow \text{V}} = -\vec F_{\tiny \text{V} \rightarrow \text{T}}$.

• Et donc : $\vec F_{\tiny \text{V} \rightarrow \text{T}}$ colinéaire à $\overrightarrow{CB\ }$.

• La force exercée par le sol sur le télescope est indéterminée a priori.

Mais, si nous appliquons le PFS au système « télescope », nous obtenons, en un point $I$ :

$$\begin{aligned} \vec M_{\tiny I}(\vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}}) + \vec M_{\tiny I}(\vec P) + \vec M_{\tiny I}(\vec F_{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}}) &= \vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{BI\ } + \vec P \land \overrightarrow{GI\ } + \vec F_{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{AI\ } \\ &=\vec 0 \end{aligned}$$

Maintenant, prenons $I$ tel que la direction de $\vec F_{\tiny V\rightarrow T}$ et la direction de $\vec P$ sont concourantes en $I$.

Alors :

$$\begin{aligned} \vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{BI\ } &= \vec P \land \overrightarrow{GI\ } \\ &=\vec 0 \end{aligned}$$

Car :

• $\vec F_{\tiny \text{V}\rightarrow \text{T}}$ et $\overrightarrow{BI\ }$ sont colinéaires ;
• $\vec P$ et $\overrightarrow{GI\ }$ sont colinéaires.
• D’où $\vec F_{\tiny \text{S}\rightarrow \text{T}} \land \overrightarrow{AI\ }=\vec 0$ et $\vec F_{\tiny \text{S} \rightarrow \text{T}}$ colinéaire à $\overrightarrow{AI\ }$.

À retenir

Ainsi, quand un système est soumis à uniquement $3$ forces concourantes, alors elles sont concourantes en un même point.

Graphe de structure

Comme nous venons de le voir, des stratégies différentes de résolution de problème peuvent être utilisées, selon que le système est soumis à $2$ forces, $3$, ou plus.

• Aussi, il est intéressant de tracer le graphe de structure du problème afin de repérer les forces agissant sur chaque partie du problème.

Principe

À retenir

Dans un graphe de structure, on représente :

• chaque élément par un cercle ;
• chaque liaison ou contact par un trait, en indiquant le point où s’applique la force (pivot).

Ensuite, on indique sur chaque corps les actions extérieures non négligeables (le poids, par exemple).

Dans notre exemple du télescope, toujours en négligeant la masse du vérin, cela donne :

Interprétation

Ce graphique permet de faire des choix quant à la sélection de la partie à isoler et donc du système à étudier.

• Par exemple, choisissons d’abord d’isoler le système « vérin ».

• Faisons le bilan des actions qui s’y exercent.

$$\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A_{\tiny B} \big(\text{T}\rightarrow \text{V}\big) \end{Bmatrix}_{B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F_{\tiny B}\big(\text{T}\rightarrow \text{V}\big) \\ \vec 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ \\ \begin{Bmatrix} A_{\tiny C} \big(\text{S}\rightarrow \text{V}\big) \end{Bmatrix}_{C\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F_{\tiny C}\big(\text{S}\rightarrow \text{V}\big) \\ \vec 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}$$

• Maintenant, isolons le système « vérin + télescope », et notons-le $\Sigma$.

• Faisons le bilan des actions qui s’y exercent.

$$\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A_{\tiny A} \big(\text{S}\rightarrow \Sigma\big) \end{Bmatrix}_{A\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F_{\tiny A}\big(\text{S}\rightarrow \Sigma\big) \\ \vec 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ \\ \begin{Bmatrix} A_{\tiny C} \big(\text{S}\rightarrow \Sigma\big) \end{Bmatrix}_{C\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F_{\tiny C}\big(\text{S}\rightarrow \Sigma\big) \\ \vec 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}$$

L’action en $B$ étant interne au système, elle n’est pas prise en compte ici.

Attention

On n’isole jamais le bâti. En effet, le bâti étant le référentiel galiléen, à l’échelle du système industriel étudié, il est très difficile de connaître les actions qui s’exercent sur celui-ci.

Récapitulatif : méthodologie de résolution d’un problème

• On fixe le repère, on trace le graphe de structure.

• On isole le système étudié en fonction des forces à déterminer : ici le télescope.

• On écrit le bilan des actions extérieures qui s’appliquent au système.
• Action du sol sur le télescope en $A$ :

$$\begin{Bmatrix} A_{\tiny A} \big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}_{A\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F_{\tiny A}\big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big) \\ \vec 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

• Action du vérin sur le télescope en $B$ :

$$\begin{Bmatrix} A_{\tiny B} \big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}_{B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec F_{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \\ \vec 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

• Action de la gravité en $G$ :

$$\begin{Bmatrix} A_{\tiny G} \big(\text{gravité}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}_{G\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} = \begin{Bmatrix} \vec P_{\tiny G} \\ \vec 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

• On exprime ces actions en un même point, ici $A$.

$$\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A_{\tiny A} \big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}_{A\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} &= \begin{Bmatrix} \vec F_{\tiny A}\big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big) \\ \vec 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ \\ \begin{Bmatrix} A_{\tiny B} \big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}_{A\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} &= \begin{Bmatrix} \vec F_{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \\ \vec F_{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \land \overrightarrow{BA\ } \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ \\ \begin{Bmatrix} A_{\tiny G} \big(\text{gravité}\rightarrow \text{T}\big) \end{Bmatrix}_{A\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} &= \begin{Bmatrix} \vec P_{\tiny G}\\ \vec P_{\tiny G} \land \overrightarrow{GA\ } \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}$$

• On applique le PFS.

$$\begin{aligned} \vec F_{\tiny A}\big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big) + \vec F_{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) + \vec P_{\tiny G} &= \vec 0 \\ \\ \vec F_{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big) \land \overrightarrow{BA\ } + \vec P_{\tiny G} \land \overrightarrow{GA\ } &= \vec 0 \end{aligned}$$

• On projette les vecteurs ci-dessus sur les axes du repère.

Dans le repère $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ :

• $\green {\overrightarrow{BA\ }}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \green x \\ \green y \\ \green 0 \end{pmatrix}$
• $\blue {\overrightarrow{GA\ }}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \blue {x^\prime} \\ \blue {y^\prime} \\ \blue 0 \end{pmatrix}$
• $\red {\vec F_{\tiny A}\big(\text{S}\rightarrow \text{T}\big)}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \red {x_{\tiny F_A}} \\ \red {y_{\tiny F_A}} \\ \red 0 \end{pmatrix}$
• $\purple {\vec F_{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big)}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \purple {x_{\tiny F_B}} \\ \purple {y_{\tiny F_B}} \\ \purple 0 \end{pmatrix}$
• $\textcolor{#808080} {\vec P_{\tiny G}}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \textcolor{#808080} 0 \\ \textcolor{#808080} {-mg} \\ \textcolor{#808080} 0 \end{pmatrix}$
• Nous calculons les produits vectoriels :

$$\begin{aligned} \purple{\vec F_{\tiny B}\big(\text{V}\rightarrow \text{T}\big)} \land \green {\overrightarrow{BA\ }}&=\begin{pmatrix} \purple{x_{\tiny F_B}} \\ \purple{y_{\tiny F_B}} \\ \purple 0 \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} \green x \\ \green y \\ \green 0 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \purple{x_{\tiny F_B}}\green y-\purple{y_{\tiny F_B}}\green x \end{pmatrix} \\ \\ \textcolor{#808080} {\vec P_{\tiny G}} \land \blue {\overrightarrow{GA\ }} &= \begin{pmatrix} \textcolor{#808080} 0 \\ \textcolor{#808080} {-mg} \\ \textcolor{#808080} 0\end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} \blue {x^\prime} \\ \blue {y^\prime} \\ \blue 0 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \textcolor{#808080} {mg}\blue{x^\prime} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

• On obtient un système d’équations.

$$\begin{cases} \red {x_{\tiny F_A}} + \purple {x_{\tiny F_B}} = 0 \\ \red {y_{\tiny F_A}} + \purple {y_{\tiny F_B}} \textcolor{#808080} {- mg} = 0 \\ \purple{x_{\tiny F_B}}\green y-\purple {y_{\tiny F_B}}\green x + \textcolor{#808080}{mg}\blue{x^\prime} = 0 \end{cases}$$

• Les données du problème permettront d’éliminer suffisamment d'inconnues pour pouvoir résoudre le système d’équations et définir l’ensemble des forces.