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Fiche de révision : Repère et coordonnées de vecteurs

Repère et coordonnées de vecteurs

Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan

  • Soit $O$, $I$ et $J$ trois points non alignés du plan. On pose : $\vec \imath=\overrightarrow{OI\ }$ et $\vec \jmath=\overrightarrow{OJ\ }$.
  • $\vec \imath$ et $\vec \jmath$, non colinéaires, forment une base du plan, notée $(\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.
  • $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$ est appelé repère du plan.
  • Si les directions de $\vec \imath$ et $\vec \jmath$ sont perpendiculaires, alors la base et le repère sont dits orthogonaux.
  • Si, en outre, les vecteurs $\vec \imath$ et $\vec \jmath$ sont de norme $1$, la base et le repère sont dits orthonormés.

Repère quelconque Repère orthogonal Repère orthonormé

Seconde mathématiques géométrie vecteurs repère

Seconde mathématiques géométrie vecteurs repère

Seconde mathématiques géométrie vecteurs repère

  • On considère un vecteur quelconque $\vec u$ dans un repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.
    Les coordonnées du vecteur $\vec u$ dans ce repère sont les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{OM\ }=\vec u$.
  • Si les coordonnées de $M$ sont $(x\ ;\, y)$, on note :

$$\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

  • On note aussi : $\vec u=x\vec \imath + y\vec \jmath$.
  • Ce couple de réels $(x\ ;\, y)$ est unique.
  • Le vecteur nul a pour coordonnées $\binom 00$.

Seconde mathématiques géométrie vecteurs coordonnées repère

  • Dans un repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, soit deux points $A$ et $B$, respectivement de coordonnées $(x_A\ ;\, y_A)$ et $(x_B\ ;\, y_B)$.
  • Les coordonnées de $\overrightarrow{AB\ }$ sont alors :

$$\overrightarrow{AB\ }\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$$

  • Dans un repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, soit deux vecteurs $\vec u\,\binom xy$ et $\vec v\, \binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$, et $k$ un réel.
    Nous avons les propriétés suivantes :

Égalité de vecteurs $\vec u=\vec v$ si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées, autrement dit, si et seulement si $x=x^{\prime}$ et $y=y^{\prime}$.
Somme de deux vecteurs $\vec u+\vec v\begin{pmatrix} x+x^{\prime} \\ y+y^{\prime} \end{pmatrix}$
Produit d’un vecteur par un réel $k\vec u \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$
Vecteur opposé $-\vec u\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$
Milieu d’un segment Soit les points $A\,(x_A\ ;\, y_A)$ et $B\,(x_B\ ;\, y_B)$. Les coordonnées du milieu du segment $[AB]$ sont alors :

$$\left( \dfrac {x_A+x_B}2\ ;\, \dfrac {y_A+y_B}2\right)$$

Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé $\Vert \vec u \Vert =\sqrt{x^2+y^2}$
Distance entre deux points dans un repère orthonormé Soit deux points $A$, de coordonnées $(x_A\ ;\, y_A)$, et $B$, de coordonnées $(x_B\ ;\, y_B)$ : $$AB=\Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Colinéarité et déterminant de deux vecteurs

Nous nous plaçons dans un repère orthonormé du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.

  • Soit deux vecteurs $\vec u\,\binom xy$ et $\vec v\,\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$.
  • Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que :

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} kx^{\prime} \\ ky^{\prime} \end{pmatrix}$$

  • Autrement dit, $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
  • Le déterminant des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est le nombre réel : $x\times y^{\prime}- y\times x^{\prime}$. On note :

$$\text{det}(\vec u,\,\vec v)=\begin{vmatrix} \green x & \purple{x^{\prime}} \\ \purple y & \green{y^{\prime}} \end{vmatrix}=\green{xy^{\prime}}-\purple{yx^{\prime}}$$

  • Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $\text{det}(\vec u,\,\vec v)=xy^{\prime}-yx^{\prime}=0$.
  • Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan, avec, d’une part, $A$ et $B$ distincts et, d’autre part, $C$ et $D$ distincts.
  • Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{CD\ })=0$.
  • Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
  • Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ })=0$.