Fiche de révision : Repère et coordonnées de vecteurs

Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan

• Soit $O$, $I$ et $J$ trois points non alignés du plan. On pose : $\vec \imath=\overrightarrow{OI\ }$ et $\vec \jmath=\overrightarrow{OJ\ }$.
• $\vec \imath$ et $\vec \jmath$, non colinéaires, forment une base du plan, notée $(\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.
• $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$ est appelé repère du plan.
• Si les directions de $\vec \imath$ et $\vec \jmath$ sont perpendiculaires, alors la base et le repère sont dits orthogonaux.
• Si, en outre, les vecteurs $\vec \imath$ et $\vec \jmath$ sont de norme $1$, la base et le repère sont dits orthonormés.

• On considère un vecteur quelconque $\vec u$ dans un repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.
  Les coordonnées du vecteur $\vec u$ dans ce repère sont les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{OM\ }=\vec u$.
• Si les coordonnées de $M$ sont $(x\ ;\, y)$, on note :

$\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

• On note aussi : $\vec u=x\vec \imath + y\vec \jmath$.
• Ce couple de réels $(x\ ;\, y)$ est unique.
• Le vecteur nul a pour coordonnées $\binom 00$.

• Dans un repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, soit deux points $A$ et $B$, respectivement de coordonnées $(x_A\ ;\, y_A)$ et $(x_B\ ;\, y_B)$.
• Les coordonnées de $\overrightarrow{AB\ }$ sont alors :

$\overrightarrow{AB\ }\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$

• Dans un repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, soit deux vecteurs $\vec u\,\binom xy$ et $\vec v\, \binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$, et $k$ un réel.
  Nous avons les propriétés suivantes :

Colinéarité et déterminant de deux vecteurs

Nous nous plaçons dans un repère orthonormé du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.

• Soit deux vecteurs $\vec u\,\binom xy$ et $\vec v\,\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$.
• Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que :

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} kx^{\prime} \\ ky^{\prime} \end{pmatrix}$

• Autrement dit, $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
• Le déterminant des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est le nombre réel : $x\times y^{\prime}- y\times x^{\prime}$. On note :

$\text{det}(\vec u,\,\vec v)=\begin{vmatrix} \green x & \purple{x^{\prime}} \\ \purple y & \green{y^{\prime}} \end{vmatrix}=\green{xy^{\prime}}-\purple{yx^{\prime}}$

• Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $\text{det}(\vec u,\,\vec v)=xy^{\prime}-yx^{\prime}=0$.
• Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan, avec, d’une part, $A$ et $B$ distincts et, d’autre part, $C$ et $D$ distincts.
• Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{CD\ })=0$.
• Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
• Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ })=0$.