Fiche de révision : Mouvements et cinématique

Vitesse et accélération

• La vitesse instantanée d’un point matériel, exprimée en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, est la dérivée par rapport au temps de son vecteur position (avec $O$ l’origine du repère et $\overrightarrow{OM\,}$t le vecteur position du cycliste à $t$) :

$$\vec{v}=\dfrac{d\overrightarrow{OM\,}}{dt}$$

• Les composantes de la vitesse instantanée d’un point matériel dans une base orthonormée sont égales aux dérivées par rapport au temps des composantes du vecteur position.
• On peut considérer ces grandeurs comme des fonctions du temps (variable $t$) car, à une date donnée, le système considéré ne peut être qu’à un endroit.
• On appelle variation de vitesse la différence entre vitesses instantanées du système mesurées à des dates voisines.
• La dérivée par rapport au temps de la vitesse instantanée du système est appelée accélération instantanée, exprimée en $\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$ :

$$\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}$$

• Les composantes de l’accélération dans une base orthonormée sont égales aux dérivées des composantes de la vitesse.

Chronophotographie

• Une chronophotographie est une série de photographies d’un objet en mouvement prises à intervalles réguliers de temps et superposées sur une même image.
• Elle sert à obtenir une valeur approchée de la vitesse instantanée et de l’accélération instantanée.
• Étapes d'une chronophotographie  :
• Tâches préliminaires :
• mesurer sur l’image les dimensions de l’objet en mouvement, pour se munir d’une échelle ;
• marquer sur chacune des images successives la position du centre de gravité de l’objet ;
• numéroter les images successives $M_1$, $M_2$… de l’objet de façon à orienter correctement la vitesse et la trajectoire.
• Mesure de vitesse au point n° $i$ :
• mesurer la distance entre les points $M_i$ et $M_{i+1}$ et utiliser l’échelle de distance ;
• diviser par l’intervalle de temps séparant deux images ;
• la direction et le sens du vecteur $\vec v_i$ sont les mêmes que ceux du vecteur $\overrightarrow{M_i M_{i+1}}$ ;
• choisir une échelle de vitesse et tracer le vecteur $\vec v_i$.
• Mesure d’accélération au point n° i par construction graphique :
• reporter la vitesse $\vec v_{i+1}$ au point $M_i $;
• compléter le triangle ainsi formé : ce dernier côté est la variation de vitesse $\overrightarrow{\Delta v}_{(i)(i+1)}=\vec v_{i+1} - \vec v_i$ ;
• mesurer la variation de vitesse $\overrightarrow{\Delta v}_{(i)(i+1)}$ et utiliser l’échelle de vitesse ;
• diviser par l’intervalle de temps séparant deux images ;
• la direction et le sens du vecteur $\vec a_i$ sont les mêmes que ceux du vecteur $\overrightarrow{\Delta v}_{(i)(i+1)}$ ;
• choisir une échelle d’accélération et tracer le vecteur $\vec a_i$.

Les lois de Newton

• Le vecteur quantité de mouvement d’un système est le produit de sa masse par son vecteur vitesse :

$$\vec{p}=m\vec{v}$$

• La quantité de mouvement s’exprime en $\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.
• L’application de forces sur un système matériel fait varier sa quantité de mouvement. Pour une force donnée, la variation de vitesse induite est d’autant plus importante que la masse du système est faible.
• On étudie l’effet de forces sur les trajectoires d’objets matériels à l’aide des trois lois suivantes énoncées par Isaac Newton :
• d’après le principe d’inertie ou première loi de Newton, si aucune force extérieure ne s’exerce sur le système, celui-ci reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.
• d’après le principe fondamental de la dynamique ou deuxième loi de Newton, la dérivée temporelle de la quantité de mouvement d’un système est égale à la somme des forces s’exerçant sur celui-ci (avec $m$ la masse constante du système et $\vec{F}$ la résultante des forces s’exerçant sur celui-ci) :

$$m\vec{a}=\vec{F}$$

• d’après le principe des actions réciproques ou troisième loi de Newton, si un système $A$ exerce sur un système $B$ une force $\vec{F}$, alors $B$ exerce sur $A$ une force $-\vec{F}$, de même norme et de sens opposé.
• Les première et deuxième lois de Newton ainsi exprimées ne sont valables que dans un référentiel dit galiléen.
• On appelle référentiel galiléen (ou référentiel inertiel) un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié.